Lacune sugli ideali

[dotmanu]

Come suggerito da Martino creo un nuovo 3d...

Devo dimostrare che: se A è commutativo con A/I è un dominio di integrità allora I è primo (e viceversa)

bene, parto con la prima implicazione
\( \displaystyle \to \)

la prof. scrive:
se \( \displaystyle {x}{y}\in{I}\to{x}{y}+{I}={0}+{I} \) perchè? come si arriva a dire questo dalla definizione di ideale? cosa significa la scrittura x+I? e la scrittura (x+I) è qualcosa di diverso?
(la def. che io conosco è che I è ideale di R se per ogni \( \displaystyle {r}\in{R} \) e per ogni \( \displaystyle {a}\in{I} \) \( \displaystyle \to \) \( \displaystyle {a}{r}\in{I} \), la differenza tra x+I e (x+I) dovrebbe essere che con il secondo si indica l'anello principale generato da a+I, ma non ne sono sicuro)

poi prosegue:
\( \displaystyle \to \) \( \displaystyle {\left({x}+{I}\right)}{\left({y}+{I}\right)}={I}={0} \) \( \displaystyle \to \) \( \displaystyle {\left({x}+{I}\right)}={I} \) o \( \displaystyle {\left({y}+{I}\right)}={I} \) \( \displaystyle \to \) \( \displaystyle {x}\in{I} \) o \( \displaystyle {y}\in{I} \) CVD

potete aiutarmi a capire i vari passaggi? grazie!

(credo che il mio problema più grande sia capire come si passa dalla def. di ideale alla scrittura a+I di cui non capisco bene il significato)

[Martino]

Ciao.

Ti faccio dei richiami di teoria.

Dati un anello unitario A e un suo ideale I, possiamo considerare i sottoinsiemi di A della forma

\( \displaystyle a+I := \{a+i\ |\ i \in I\} \) .

Osserviamo che dire \( \displaystyle a+I = b+I \) è equivalente a dire che \( \displaystyle a-b \in I \) (facile esercizio). In particolare \( \displaystyle a+I=0+I=I \) se e solo se \( \displaystyle a \in I \) . Inoltre è facile verificare che i sottoinsiemi della forma \( \displaystyle a+I \) formano una partizione di \( \displaystyle A \) (sono a due a due disgiunti e la loro unione è A).

Chiamiamo \( \displaystyle A/I \) l'insieme di tali sottoinsiemi:

\( \displaystyle A/I := \{a+I\ |\ a \in A\} \) .

E' facile verificare che \( \displaystyle A/I \) è l'insieme quoziente relativo alla seguente relazione di equivalenza su A: \( \displaystyle a \sim b\ \Leftrightarrow a-b \in I \) (è ovvio per quanto detto sopra).

Ora definiamo in \( \displaystyle A/I \) le seguenti operazioni:

\( \displaystyle (a+I)+(b+I) := (a+b)+I \) .
\( \displaystyle (a+I)(b+I) := ab+I \) .

Si tratta di posizioni ben definite (è facile verificarlo) che dotano \( \displaystyle A/I \) della struttura di anello (è facile verificare anche questo). L'elemento neutro per la somma in questo anello A/I è \( \displaystyle 0+I \) , cioè \( \displaystyle I \) , mentre l'elemento neutro per il prodotto è \( \displaystyle 1+I \) .

[dotmanu]

Grazie... hai centrato in pieno!
Sul mio libro non è spiegato così bene... ora me lo studio, poi ti faccio sapere...

[dotmanu]

ok, ecco le prime domande:
1) gli a+I sarebbero i laterali?
2) dire \( \displaystyle {a}+{I}={b}+{I} \) è equivalente a dire che \( \displaystyle {a}-{b}\in{I} \) purtroppo per me non è un facile esercizio... suggerimenti? (Arg, sta roba proprio non c'è sul libro... e la prof. l'ha fatta un po' troppo alla veloce...)

[Martino]

1) gli a+I sarebbero i laterali?

Sì, rispetto alla \( \displaystyle + \).

2) dire \( \displaystyle {a}+{I}={b}+{I} \) è equivalente a dire che \( \displaystyle {a}-{b}\in{I} \) purtroppo per me non è un facile esercizio... suggerimenti? (Arg, sta roba proprio non c'è sul libro... e la prof. l'ha fatta un po' troppo alla veloce...)

\( \displaystyle \Rightarrow \) supponiamo \( \displaystyle {a}+{I}={b}+{I} \). Allora \( \displaystyle {a}\in{a}+{I} \) si scrive nella forma \( \displaystyle {b}+{i} \) con \( \displaystyle {i}\in{I} \), quindi \( \displaystyle {a}={b}+{i} \) e \( \displaystyle {a}-{b}={i}\in{I} \).
\( \displaystyle \Leftarrow \) supponiamo \( \displaystyle {a}-{b}\in{I} \). Per mostrare che \( \displaystyle {a}+{I}={b}+{I} \) basta mostrare l'inclusione \( \displaystyle \subseteq \), l'altra segue per simmetria. Ora preso \( \displaystyle {a}+{i}\in{a}+{I} \) si ha \( \displaystyle {a}+{i}={b}+{\left({a}-{b}\right)}+{i}\in{b}+{I} \) dato che \( \displaystyle {a}-{b}\in{I} \), \( \displaystyle {i}\in{I} \) e \( \displaystyle {I} \) è chiuso per la somma.

[dotmanu]

grazie mille... sei stato gentilissimo e chiarissimo!

[Martino]

Prego, ciao alla prossima!