Lagrange e spline cubiche

[nato_pigro]

Perchè se ho 4 punti, il polinomi interpolatore di lagrange e la spline cubica coincidono?

[canemacchina]

Detto così ci capisco poco. Come la calcoli la spline cubica? Naturale, not a knot, ecc.. oppure usi i 4 punti per determinare la spline? Perché se fai nell'ultimo modo stai praticamente cercando un polinomio interpolante con 4 punti di interpolazione, ed è dimostrabile che il polinomio interpolante è unico, quindi la tua spline coincide con il polinomio calcolato con la base di Lagrange.
Io spero sia questa la risposta.

[nato_pigro]

non lo so, io usa quella che usa matlab...
Io quello che so è che una spline cubica per n punti ha due gradi di libertiamo che possiam odecidere noi come riempire.

[canemacchina]

Si si corretto.
Allora ragioniamo. Matlab usa la spline cubica not a knot, ovvero i due gradi di libertà sono decisi dalle condizioni
\( \displaystyle S_3'''|_{[x_0,x_1]}(x_1) = S_3'''|_{[x_1,x_2]}(x_1), \quad S_3'''|_{[x_{n-2},x_{n-1}]}(x_{n-1}) = S_3'''|_{[x_{n-1},x_{n}]}(x_{n-1}) \)
Ovvero che la spline cubica calcolata nel primo sottointervallo coincida con la spline cubica calcolata nel secondo intervallo, e che la spline cubica calcolata nel penultimo intervallo coincida con la spline cubica calcolata nell'ultimo intervallo.

Ora, dato che usi 4 punti, chiamati \( \displaystyle x_0, x_1, x_2, x_3 \) , il primo sotto intervallo è \( \displaystyle [x_0, x_1] \) , il secondo \( \displaystyle [x_1, x_2] \) , il penultimo è \( \displaystyle [x_1, x_2] \) e l'ultimo è \( \displaystyle [x_2, x_3] \) !!!
Quindi tu stai dicendo, come condizioni aggiuntive di interpolazione, che il polinomio deve essere identico in ogni sotto intervallo di interpolazione, ovvero è un polinomio unico su tutto l'intero intervallo di interpolazione \( \displaystyle [x_0, x_3] \) . Data l'unicità del polinomio interpolante, ecco perché la spline cubica di matlab (una spline not a knot) e il polinomio in forma di lagrange, sono lo stesso polinomio!

Capito?

[nato_pigro]

grazie mille!