mm..allora ho ragionato così...però evidentemente male se dici che non va bene...cmq...
ipotizziamo di tirare il dado 6 volte:
_ _ _ _ _ _
devo calcolare la probabilita che solo nelle utlime 2 caselle io abbia 2 "6"...
_ _ _ _ 6 6
la probabilità di avere 2 "6" lì è di \( \displaystyle {{\left(\frac{{1}}{{6}}\right)}}^{{2}} \)
ora...sulla cassella immediatamente prima del "6" non deve esserci un 6!
qiundi
_ _ _ /6 6 6
(/6) sta per "non 6"...
la probabilità fin qui è \( \displaystyle \frac{{5}}{{6}}\cdot{{\left(\frac{{1}}{{6}}\right)}}^{{2}}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{s}{\underline{{l}}}{a}{c}{a}{s}{e}{l}{l}{a}{p}{r}{i}{m}{a}{p}{o}{s}{s}{o}{m}{e}{\mathtt{{e}}}{r}{e}{q}{u}{e}{l}{l}{o}{c}{h}{e}{m}{i}{p}{a}{r}{e}\ldots{s}{e}{n}{z}{a}{p}{r}{e}{o}\cup{a}{r}{m}{i},{\tan{\to}}{s}{u}{q}{u}{e}{l}{l}{a}{d}{i}{p}{o}{s}\to{4}°{n}{o}{n}{c}'è{u}{n}{6}\ldots\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt_{_}}\frac{{X}}{{6}}{6}{6}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{l}{a}{p}{r}{o}{b}{a}{b}{i}{l}{i}{t}àè\in{v}{a}{r}{i}{a}{t}{a}\ldots.\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{\quad\text{or}\quad}{a}{\left({e}{c}{r}{e}{d}{o}{c}{h}{e}{s}{i}{a}{a}{q}{u}{e}{s}\to{p}{u}{n}\to{l}'{e}{r}{r}{\quad\text{or}\quad}{e}\right)},{p}{e}{r}{n}{o}{n}{r}{i}{s}\chi{a}{r}{e}{i}{m}{p}{o}{n}{g{{o}}}{a}{q}{u}{e}{s}\to{p}{o}{s}\to{d}{i}{n}{o}{n}{e}{s}{s}{e}{r}{e}{u}{n}{6},{m}{o}\lt{i}{p}{l}{i}{c}{o}{q}{u}\in{d}{i}{p}{e}{r} \)5/6\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{\quad\text{or}\quad}{a}{q}{u}\in{d}{i}{s}\to\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt_{/}}{6}\frac{{X}}{{6}}{6}{6}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{l}'{\underline{{t}}}{i}{m}{o}{p}{o}{s}\to{l}{i}{b}{e}{r}{o}{p}{u}ò{e}{s}{s}{e}{r}{e}{c}{i}ò{c}{h}{e}{v}{u}{o}\le\ldots\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{q}{u}\in{i}{d}\in{d}{e}{f{\in}}{i}{t}{i}{v}{a}{l}{a}{p}{r}{o}{b}{a}{b}{i}{l}{i}{t}àè{d}{a}{t}{a}{d}{a}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)(5/6)^(Numero di posti pari [esclusi gli ultimi 2])*(1/6)^2$
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da Piera » 09/01/2006, 13:51
Dato che il quesito è più complicato di quanto si possa pensare, stasera posto la soluzione. Adesso scrivo solo il risultato:
la probabilità richiesta (salvo errori di calcolo da parte mia) è :
p = \( \displaystyle \frac{{2}}{{{45}-{5}\cdot\sqrt{{{45}}}}}\cdot{{\left(\frac{{{5}-\sqrt{{{45}}}}}{{12}}\right)}}^{{{n}}}+\frac{{2}}{{{45}+{5}\cdot\sqrt{{{45}}}}}\cdot{{\left(\frac{{{5}+\sqrt{{{45}}}}}{{12}}\right)}}^{{{n}}} \)
siccome non posso vedere se ho scritto bene la formula , scrivo anche questo:
p = 2/(45-5*sqrt(45))*((5-sqrt(45))/12)^n+
+ 2/(45+5*sqrt(45))*((5+sqrt(45))/12)^n
la probabilità richiesta (salvo errori di calcolo da parte mia) è :
p = \( \displaystyle \frac{{2}}{{{45}-{5}\cdot\sqrt{{{45}}}}}\cdot{{\left(\frac{{{5}-\sqrt{{{45}}}}}{{12}}\right)}}^{{{n}}}+\frac{{2}}{{{45}+{5}\cdot\sqrt{{{45}}}}}\cdot{{\left(\frac{{{5}+\sqrt{{{45}}}}}{{12}}\right)}}^{{{n}}} \)
siccome non posso vedere se ho scritto bene la formula , scrivo anche questo:
p = 2/(45-5*sqrt(45))*((5-sqrt(45))/12)^n+
+ 2/(45+5*sqrt(45))*((5+sqrt(45))/12)^n
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da Piera » 09/01/2006, 19:46
Indichiamo con \( \displaystyle {P}_{{{n}}} \) la probabilità richiesta,
cioè la probabilità che la sequenza finisca con due 6 consecutivi al lancio n-esimo e che non si sia ancora verificato una coppia di 6 consecutivi.
Le sequenze iniziali possono cominciare in tre modi:
1) nel primo lancio non è uscito 6 (nel seguito indico quest’evento con A)
2) nel primo lancio è uscito un 6 e nel secondo non è uscito 6 (evento B)
3) nel primo e nel secondo lancio è uscito 6 (evento C)
adesso calcoliamo \( \displaystyle {P}_{{{n}}} \) con il teorema delle probabilità totali:
\( \displaystyle {P}_{{{n}}} \) = P( E | A) * P(A) + P(E | B)*P(B) + P(E |C)*P(C)
dove E è l’evento che la sequenza finisca con due 6 consecutivi al lancio n-esimo e che non si sia ancora verificato una coppia di 6 consecutivi.
P(A)=\( \displaystyle \frac{{5}}{{6}} \) , P(B)=\( \displaystyle \frac{{5}}{{{36}}} \) , P(C)=1/(36)
P( E | A), cioè la probabilità che la sequenza finisca con due 6 consecutivi al lancio n-esimo e che non si sia verificato una coppia di 6 consecutivi sapendo che al primo lancio non è uscito un 6,
è uguale a \( \displaystyle {P}_{{{n}-{1}}} \) ( se io so che al primo lancio non è uscito 6, l’evento si verificherà se negli \( \displaystyle {\left({n}-{1}\right)} \) lanci rimasti la sequenza finisce con due 6 consecutivi senza avere mai osservato prima di allora una coppia di 6 consecutivi).
Ragionando allo stesso modo si ottiene
P( E | B) =\( \displaystyle {P}_{{{n}-{2}}} \)
P( E | C) = 0
In definitiva abbiamo la seguente relazione ricorsiva
\( \displaystyle {P}_{{{n}}}={P}_{{{n}-{1}}}\cdot\frac{{5}}{{6}}+{P}_{{{n}-{2}}}\cdot\frac{{5}}{{{36}}} \) per \( \displaystyle {n}\gt{2} \)
con le condizioni iniziali
\( \displaystyle {P}_{{{1}}}={0} \),
\( \displaystyle {P}_{{{2}}}=\frac{{1}}{{{36}}} \)
per chi vuole fare una verifica, si calcoli \( \displaystyle {P}_{{{3}}} \) e \( \displaystyle {P}_{{{4}}} \), si vede che vengono fuori le probabilità trovate da vecchio nei punti 2) e 3).
La relazione trovata è una equazione alle differenze finite lineare omogenea, che può essere risolta con tecniche simili a quelle per le equazioni differenziali omogenee
cioè la probabilità che la sequenza finisca con due 6 consecutivi al lancio n-esimo e che non si sia ancora verificato una coppia di 6 consecutivi.
Le sequenze iniziali possono cominciare in tre modi:
1) nel primo lancio non è uscito 6 (nel seguito indico quest’evento con A)
2) nel primo lancio è uscito un 6 e nel secondo non è uscito 6 (evento B)
3) nel primo e nel secondo lancio è uscito 6 (evento C)
adesso calcoliamo \( \displaystyle {P}_{{{n}}} \) con il teorema delle probabilità totali:
\( \displaystyle {P}_{{{n}}} \) = P( E | A) * P(A) + P(E | B)*P(B) + P(E |C)*P(C)
dove E è l’evento che la sequenza finisca con due 6 consecutivi al lancio n-esimo e che non si sia ancora verificato una coppia di 6 consecutivi.
P(A)=\( \displaystyle \frac{{5}}{{6}} \) , P(B)=\( \displaystyle \frac{{5}}{{{36}}} \) , P(C)=1/(36)
P( E | A), cioè la probabilità che la sequenza finisca con due 6 consecutivi al lancio n-esimo e che non si sia verificato una coppia di 6 consecutivi sapendo che al primo lancio non è uscito un 6,
è uguale a \( \displaystyle {P}_{{{n}-{1}}} \) ( se io so che al primo lancio non è uscito 6, l’evento si verificherà se negli \( \displaystyle {\left({n}-{1}\right)} \) lanci rimasti la sequenza finisce con due 6 consecutivi senza avere mai osservato prima di allora una coppia di 6 consecutivi).
Ragionando allo stesso modo si ottiene
P( E | B) =\( \displaystyle {P}_{{{n}-{2}}} \)
P( E | C) = 0
In definitiva abbiamo la seguente relazione ricorsiva
\( \displaystyle {P}_{{{n}}}={P}_{{{n}-{1}}}\cdot\frac{{5}}{{6}}+{P}_{{{n}-{2}}}\cdot\frac{{5}}{{{36}}} \) per \( \displaystyle {n}\gt{2} \)
con le condizioni iniziali
\( \displaystyle {P}_{{{1}}}={0} \),
\( \displaystyle {P}_{{{2}}}=\frac{{1}}{{{36}}} \)
per chi vuole fare una verifica, si calcoli \( \displaystyle {P}_{{{3}}} \) e \( \displaystyle {P}_{{{4}}} \), si vede che vengono fuori le probabilità trovate da vecchio nei punti 2) e 3).
La relazione trovata è una equazione alle differenze finite lineare omogenea, che può essere risolta con tecniche simili a quelle per le equazioni differenziali omogenee
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da gennaro » 16/01/2006, 17:21
ah giusto...
3) \( \displaystyle \frac{{5}}{{6}}\cdot{{\left(\frac{{1}}{{6}}\right)}}^{{2}} \)
Scusa Piera, ma allora il terzo caso è uguale al secondo? non è che al primo e al secondo tiro la P è 5/6?
3) \( \displaystyle \frac{{5}}{{6}}\cdot{{\left(\frac{{1}}{{6}}\right)}}^{{2}} \)
Scusa Piera, ma allora il terzo caso è uguale al secondo? non è che al primo e al secondo tiro la P è 5/6?
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da Piera » 16/01/2006, 19:57
1) no, al primo e al secondo tiro la probabilità è
1/6 * 1/6 (devono uscire due 6 e la probabilità che esca 6 è 1/6)
2) per avere per la prima volta due 6 al lancio 2 e 3 occorre che al primo lancio non esca 6 (questo si verifica con probabilità 5/6) e negli altri due lanci devono uscire due 6 ( questo si verifica con probabilità 1/6 * 1/6) quindi complessivamente la probabilità è 5/6 * 1/6 * 1/6
3) in questo caso al primo lancio può uscire un numero qualsiasi (probabilità =1), al secondo non deve uscire 6 (probabilità =5/6) e negli ultimi due lanci devono uscire due 6 (probabilità =1/6 *1/6) e complessivamente la probabilità è 1 * 5/6 * 1/6 *1/6
1/6 * 1/6 (devono uscire due 6 e la probabilità che esca 6 è 1/6)
2) per avere per la prima volta due 6 al lancio 2 e 3 occorre che al primo lancio non esca 6 (questo si verifica con probabilità 5/6) e negli altri due lanci devono uscire due 6 ( questo si verifica con probabilità 1/6 * 1/6) quindi complessivamente la probabilità è 5/6 * 1/6 * 1/6
3) in questo caso al primo lancio può uscire un numero qualsiasi (probabilità =1), al secondo non deve uscire 6 (probabilità =5/6) e negli ultimi due lanci devono uscire due 6 (probabilità =1/6 *1/6) e complessivamente la probabilità è 1 * 5/6 * 1/6 *1/6
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da gennaro » 17/01/2006, 08:58
OK Piera, grazie. Però non mi è chiaro il testo.....quindi al terzo caso vuol dire che al primo lancio può anche uscire 6? invece pare che il testo dica che SOLO al terzo e quarto lancio esca il 6.
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da Piera » 17/01/2006, 13:22
il testo dice che al lancio 3 e 4 deve uscire per la prima volta due 6 CONSECUTIVI, questo significa che al primo lancio può anche uscire 6 e al secondo no visto che voglio avere due 6 consecutivi per la prima volta ai lanci 3 e 4.
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da gennaro » 17/01/2006, 14:01
ok, inganna "prima volta" sembra un'esclusività. E' il solito di questi problemini, ma l'italiano potrebbe essere più chiaro ed evitare sbagliate interpretazioni. Sbagliate nel senso che non sono quelle intese dall'autore!
Comunque grazie per il chiarimento.
Comunque grazie per il chiarimento.
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