Lavoro trasformazione generica

[pitrineddu90]

Salve a tutti. Un esercizio mi chiede di trovare il lavoro e il calore scambiato di una trasformazione da Ta=400 K a Tb=300 K. La pressione è in funzione della temperatura e vale \( \displaystyle {p}={b}{{T}}^{{2}} \) dove \( \displaystyle {b}={2}\frac{{J}}{{{{m}}^{{3}}{{K}}^{{2}}}} \).
Ho proceduto in questo modo :
Sostituiendo prima Ta e Tb a T trovo le pressioni rispettivamente a 400 K e 300 K.
Con l'equazione di stato dei gas trovo i volumi in A e in B.

\( \displaystyle {L}=\int{P}{d}{V} \)
Non so come procedere. Da questo punto in poi perchè sostituendo \( \displaystyle {b}{{T}}^{{2}} \) a P non riesco ad integrare e trovare il lavoro. Per il calore non so come procedere.
Chi mi aiuta ? Grazie.

[ELWOOD]

Ciao,
non vorrei dire stupidate, però si vede come la pressione è funzione della temperatura, pertanto lo è anche il volume:

\( \displaystyle {v}={\frac{{{R}{T}}}{{{p}{\left({T}\right)}}}}={f{{\left({T}\right)}}} \) quindi il lavoro lo calcolerei come integrale elementare:

\( \displaystyle {L}={b}{{T}}^{{2}}{\left({V}_{{2}}-{V}_{{1}}\right)} \)

[pitrineddu90]

Capito. Gli estremi di integrazione devono essere Ta e Tb allora ?

[ELWOOD]

si in effetti hai ragione.
Provo a fare questo ragionamento più matematico che fisico, quindi prendilo con le pinze:

con \( \displaystyle {p}{v}={R}{T} \) abbiamo nel nostro caso che \( \displaystyle {v}={\frac{{{R}{T}}}{{{b}{{T}}^{{2}}}}}={\frac{{{R}}}{{{b}{T}}}} \) allora sostituiamo differenziando:

\( \displaystyle {d}{v}=-{\frac{{{R}}}{{{b}{{T}}^{{2}}}}}{d}{T} \) all'interno dell'integrale:

\( \displaystyle {L}={\int_{{{v}_{{1}}}}^{{{v}_{{2}}}}}{p}{d}{v}={\int_{{{T}_{{a}}}}^{{{T}_{{b}}}}}{b}{{T}}^{{2}}\cdot-{\frac{{{R}}}{{{b}{{T}}^{{2}}}}}{d}{T}={R}{\left({T}_{{a}}-{T}_{{b}}\right)} \)

Non hai i risultati?

[pitrineddu90]

Purtroppo no. Mi sono dimenticato a scrivere che il numero di moli è 10.