Le dita dei marziani - SNS 1962

[elios]

"Si sostiene talvolta che noi usiamo il sistema decimale di numerazione (per cui, per esempio, \( \displaystyle {362} \) significa \( \displaystyle {3}\cdot{{10}}^{{2}}+{6}\cdot{10}+{2} \)) in quanto abbiamo dieci dita.
Un marziano, dopo aver vista scritta l'equazione:
\( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{16}\cdot{x}+{41}={0} \),
invitato a scrivere la differenza delle radici, scrive \( \displaystyle {10} \).
Quante dita hanno i marziani?
NB: per i numeri compresi fra 0 e 6 la scrittura dei marziani coincide con la nostra."

Io ho risolto questo esercizio sostanzialmente a tentativi, cioè analizzando i casi di base 2,3,4 e così via e sono giunta alla conclusione che i marziani hanno 8 dita:
Infatti se scriviamo l'equazione a base 8, cioè ponendo \( \displaystyle {16}_{{8}}={1}\cdot{8}+{6}\cdot{1}={14} \) e \( \displaystyle {41}_{{8}}={4}\cdot{8}+{1}\cdot{1}={33} \), otteniamo:
\( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{14}{x}+{33}={0} \) (a base 10).
Risolvendola le due radici sono \( \displaystyle {x}_{{1}}={3} \) e \( \displaystyle {x}_{{2}}={11} \), la cui differenza è 8 (in base 10), e quindi 10 in base 8.

C'è un modo più elegante per risolverlo, cioè senza andare 'a tentoni'?

[Feliciano]

senza andare a tantoni:

l'equazione proposta, dato che non conosci il sistema di numerazione, ma puoi benissimo supporre che sia posizionale la puoi riscrivere in questo modo
\( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{\left({1}\cdot{a}+{6}\cdot{1}\right)}{x}+{\left({4}\cdot{a}+{1}\right)}={0}\text{}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{d}{o}{v}{e}{a}è{a}{p}{p}{u}{n}\to{l}{a}{b}{a}{s}{e}{d}{i}\nu{m}{e}{r}{a}{z}{i}{o}\ne{c}{h}{e}{s}{t}{a}{i}{c}{e}{r}{c}{\quad\text{and}\quad}\odot{O}{r}{a}{d}{e}{v}{i}{i}{m}{p}{\quad\text{or}\quad}{r}{e}{c}{h}{e}{l}{a}{d}\Leftrightarrow{e}{r}{e}{n}{z}{a}\partial\le{s}{u}{e}{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}{n}{i}{d}{i}{q}{u}{e}{s}{t}'{e}{q}{u}{a}{z}{i}{o}\ne{s}{i}{a}{a}{p}{p}{u}{n}\to \)1*a+0*1\( \displaystyle .\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{Q}{u}\in{d}{i}{t}{i}{b}{a}{s}{t}{a}{r}{i}{s}{o}{l}{v}{e}{r}{e}\in{x}{l}'{e}{q}{u}{a}{z}{i}{o}\ne,{o}{\mathtt{{e}}}{r}{r}{a}{i}{d}{u}{e}{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}{n}{i}\in{c}{u}{i}{c}{o}{m}{p}{a}{r}{i}{r}à{i}{l}\text{parametro}{a},{n}{o}{n}{t}{i}{r}{e}{s}{t}{a}{c}{h}{e}{i}{m}{p}{\quad\text{or}\quad}{r}{e}{l}{a}{d}\Leftrightarrow{e}{r}{e}{n}{z}{a}{d}{i}{q}{u}{e}{s}{t}{i}{d}{u}{e}{v}{a}{l}{\quad\text{or}\quad}{i}{u}{g{{u}}}{a}\le{a} \)a\( \displaystyle .\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{N}{e}{o}{\mathtt{{i}}}{e}{n}{i}{l}'{e}{q}{u}{a}{z}{i}{o}\ne \)-4a+32=0\( \displaystyle {l}{a}{c}{u}{i}{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}\neè\chi{a}{r}{a}{m}{e}{n}{t}{e}{8}.\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{\left({s}{o}{l}{o}{u}{n}{a}{\cos{{a}}}{s}{t}{a}{i}{a}{\mathtt{{e}}}{n}\to{a}{q}{u}{\quad\text{and}\quad}{o}{f{{a}}}{i}\right.} \)x_1-x_2\( \displaystyle {p}{e}{r}{c}{h}è{s}{e}\in{v}{e}{r}{t}{i} \)x_1\( \displaystyle {e} \)x_2$ ti esce un'equazione non valida per nessun valore di a)

[Steven]

Ciao, ti segnalo sue discussioni proprio a proposito di questo problema.

http://www.matematicamente.it/forum/ali ... t=marziani
http://www.matematicamente.it/forum/mal ... t=marziani

Buon lavoro!

[elios]

Che stupida a non pensarci! Dovevo solo parametrizzare un procedimento che avevo già fatto.. Grazie!