Limite con Taylor

[StefanoMDj]

ciao ragazzi, vi vorrei chiedere se svolgo il limite correttamente

il testo è il seguente

\( \displaystyle {x}\to+\infty \)

\( \displaystyle {\left({1}-\sqrt{{{1}+\frac{{x}}{{{{x}}^{{3}}+{1}}}}}\right)}{\log{{\left({1}+{x}+{{e}}^{{{{x}}^{{3}}}}\right)}}} \)

dunque...per quanto riguarda il logaritmo è asintotico a \( \displaystyle {\log{{\left({{e}}^{{{{x}}^{{3}}}}\right)}}} \) che trasformo in \( \displaystyle {{x}}^{{3}} \) per le proprietà dei logaritmi

la radice invece la trasformo in \( \displaystyle {1}+\frac{{1}}{{2}}\cdot{\left(\frac{{x}}{{{{x}}^{{3}}+{1}}}\right)} \) dallo sviluppo di \( \displaystyle {{\left({1}+{x}\right)}}^{{a}} \) con x tendente a zero

poi mi ritrovo con \( \displaystyle -\frac{{1}}{{{2}{{x}}^{{2}}}}\cdot{{x}}^{{3}} \) ed il risultato mi viene \( \displaystyle -\infty \)....è giusto? grazie

[theras]

Ciao!
Si,la divergenza negativa mi sembra corretta,come d'altronde i passi della tecnica da te usata:
ma puoi farmi la cortesia di provare pure a dividere e moltiplicare per \( \displaystyle \frac{{x}}{{{{x}}^{{3}}+{1}}} \)?
Spesso basta usare in modo legittimo le stime asintotiche ed i limiti notevoli:
se così non fosse,magari,si pensa a Taylor
(che và di moda,direi,perchè è comodo e quasi automatico,
ma può anche far scordare che quella dei limiti è un'algebra abbastanza "sui generis"..)!
Non significa che pensare a quel metodo non sia spesso utile:
ma alle volte fà allungare conti che,riconoscendo subito il "nemico" tramite altre considerazioni,
potrebbero essere ben più immediati..
Saluti dal web.

[StefanoMDj]

vero vero vero! cavolo mi ero scordato del "moltiplicare e dividere per la radice"!!

Comunque sia il risultato mi viene uguale! il fatto è che rimane sempre \( \displaystyle {{x}}^{{2}} \) al denominatore e quindi non si semplifica del tutto con \( \displaystyle {{x}}^{{3}} \) al numeratore....mi sembra strano perchè praticamente tutti i limiti di questa nostra prof sono fatti in modo di arrivare ad una soluzione \( \displaystyle {l} \) di solito diversa da \( \displaystyle \pm\infty \) o \( \displaystyle {0} \)