limite dell'integrale

[ermes*]

Salve!
Per favore, potreste mostrarmi come si svolge il limite di questa funzione razionale in cui compare un integrale utilizzando il teorema di Torricelli - Barrow e quello di De L'Hopital?

lim ((int sen t^3 dt) / x^4)
x->o 2x 0

Con 2x 0 intendo dire che l'integrale è definito tra 2x e 0 (non sapevo come indicarlo). Scusate, ma non sono molto pratico della simbologia utilizzata in questo forum. Sarei molto grato a chiunque mi desse un aiuto di qualsiasi genere.
Vi ringrazio in anticipo,

Andrea

[Tipper]

Il limite si presenta sotto la forma \( \displaystyle {\frac{{{0}}}{{{0}}}} \), si può quindi usare il teorema di de l'Hopital, andando a derivare sia il numeratore che il denominatore. La derivata del denominatore è facile, e fa \( \displaystyle {4}{{x}}^{{3}} \), per quella del numeratore ragiona così:
sia \( \displaystyle {F}{\left({t}\right)} \) una primitiva di \( \displaystyle {\sin{{\left({{t}}^{{3}}\right)}}} \), allora il numeratore, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, si può scrivere come \( \displaystyle {F}{\left({0}\right)}-{F}{\left({2}{x}\right)} \), quindi la derivata del numeratore vale \( \displaystyle {D}{\left[{F}{\left({0}\right)}\right]}-{D}{\left[{F}{\left({2}{x}\right)}\right]} \).
\( \displaystyle {F}{\left({0}\right)} \) è costante, e la sua derivata è nulla, invece \( \displaystyle {D}{\left[{F}{\left({2}{x}\right)}\right]}={\sin{{\left({8}{{x}}^{{3}}\right)}}} \), perché \( \displaystyle {F} \) è una primitiva di \( \displaystyle {\sin{{\left({{t}}^{{3}}\right)}}} \), pertanto la derivata del numeratore è \( \displaystyle -{\sin{{\left({8}{{x}}^{{3}}\right)}}} \).
Per risolvere il limite ora puoi usare il celeberrimo limite notevole.

[ermes*]

Ti ringrazio molto, ma c'è un punto su cui, se non ti dispiace, avrei bisogno di un chiarimento. Quando si fa la derivata del numeratore, e quindi dell'integrale, in 2x non si dovrebbe tenere conto che si tratta in qualche modo di una funzione composta (perché definita in 2x, e non semplicemente in x), e quindi moltiplicare per 2 il sen8x^3?

Per cui verrebbe:

lim (-2sen8x^3)/(4x^3)
x->o

O sto dicendo una cretinata?

Mille grazie ancora,
Andrea

[Tipper]

Certo che devi tenerne conto, mi è rimasto un \( \displaystyle {2} \) nella tastiera!

[ermes*]

Sei gentilissimo, grazie ancora.