limite destro e limite sinistro

[Sophya]

Qualcuno mi sa spiegare come fare a calcolare i limiti dx e sx un po' in generale??
Per esempio non capisco perchè \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={x}-{1}+{2}{\left(\frac{{\left|{x}\right|}}{{x}}\right)} \) ha i limiti dx e sx diversi? ovvero 1 e -3?

[TomSawyer]

Hai dimenticato di specificare a cosa tendono quei limiti, cioe' \( \displaystyle {0} \). Un modo molto intuitivo di capire perche' siano diversi e' di sostituire ad \( \displaystyle {x} \) numeri molto vicini a \( \displaystyle {0} \), prima di sinistra, poi da destra.

\( \displaystyle \lim_{{{x}\to{{0}}^{{-}}}}{x}-{1}+{2}{\left(\frac{{\left|{x}\right|}}{{x}}\right)} \) se si sotituisce ad \( \displaystyle {x} \) il numero \( \displaystyle -{0.01} \) (per esempio) trovi che \( \displaystyle -{0.01}-{1}+{2}{\left(\frac{{\left|-{0.01}\right|}}{{-{0.01}}}\right)}=-{0.01}-{3} \), cioe' il limite della funzione e' \( \displaystyle -{3} \), quando \( \displaystyle {x}\to{{0}}^{{-}} \).

Prova a fare la stessa cosa quando \( \displaystyle {x}\to{{0}}^{+} \), sicuramente capirai.

[Sophya]

ok ho capito,ma se devo calcolare i limiti dx e sx per esempio per verificare la 1 specie di discontinuità sul compito in classe come scrivo? uguale a come hai scritto tu? o direttamente? il prof vuole sempre tutti i passaggi allora ho paura di sbagliare..in piu' ti dico che ci ha fatto vedere i lim dx e sx solo in pratica senza spiegarci nulla..Comunque un'altra cosa..perchè i limiti sx e dx tendenti a zero di \( \displaystyle {\cos{{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}}} \) non esistono?

Grazie per il tuo tempo

[TomSawyer]

Per quell'esercizio, basta spiegare che la frazione \( \displaystyle \frac{{\left|{x}\right|}}{{x}} \) e' uguale a \( \displaystyle -{1} \), quando \( \displaystyle {x}\to{{0}}^{{-}} \) e ad \( \displaystyle {1} \), quando \( \displaystyle {x}\to{{0}}^{+} \), quindi i due limiti sono diversi.

Comunque un'altra cosa..perchè i limiti sx e dx tendenti a zero di \( \displaystyle {\cos{{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}}} \) non esistono?

Non ho capito bene cosa intendi.

[Sophya]

\( \displaystyle \lim_{{{x}\to{{0}}^{{+}}}}{\left({\cos{{\left(\frac{{1}}{{x}}\right)}}}\right)} \) e \( \displaystyle \lim_{{{x}\to{{0}}^{{-}}}}{\left({\cos{{\left(\frac{{1}}{{x}}\right)}}}\right)} \) non esistono...perchè?

ps.scusa era x non 2

[TomSawyer]

Prima considera \( \displaystyle \frac{{1}}{{x}} \); \( \displaystyle \lim_{{{x}\to{0}}}\frac{{1}}{{x}}=\infty \). Essendo il coseno una funzione periodica di periodo \( \displaystyle {2}\pi \), chiaramente non ha senso calcolarne l'andamento all'infinito.

[Luca.Lussardi]

Attenzione: \( \displaystyle \lim_{{{x}\to{0}}}\frac{{1}}{{x}} \) non esiste!

[TomSawyer]

A me e' sempre stato detto che \( \displaystyle \lim_{{{x}\to{{0}}^{{-}}}}\frac{{1}}{{x}}=-\infty \) e \( \displaystyle \lim_{{{x}\to{{0}}^{+}}}\frac{{1}}{{x}}=-\infty \). E ho incontrato queste rappresentazioni dappertutto..

[ottusangolo]

Ciao Sophya,
te ne puoi convincere continuando ad usare il tuo ' metodo sperimentale'
che poi è anche in questo caso una dim. rigorosa
ponendo x=1/n& (& sta per p-greco) con n=1,2,3,4,5....

[Luca.Lussardi]

Risulta \( \displaystyle \lim_{{{x}\to{{0}}^{{-}}}}\frac{{1}}{{x}}=-\infty \) e \( \displaystyle \lim_{{{x}\to{{0}}^{+}}}\frac{{1}}{{x}}=+\infty \), per cui, essendo i due limiti, destro e sinistro, diversi, \( \displaystyle \lim_{{{x}\to{0}}}\frac{{1}}{{x}} \) non può esistere.