limite per \( \displaystyle {x}\to{0} \)

[ciampax]

Sì, ma infatti non stavo dicendo che avessi sbagliato: semplicemente aggiustavo il tiro per quanto riguardava l'approccio diretto all'esercizio.

[theras]

Ops,scusa :
mi si son evidentemente uniti i fili di cervello e stomaco,
durante la digestione della cena che cucinavo in questo strano Venerdi tra fornelli e Forum,
e non avevo colto lo spirito del tuo intervento..
A dirla tutta,son così fuso ed appesantito
(maledetti quei benedetti guanciale ed uova )
che avevo dimenticato come la prima risposta l'avessi data tu:
mi sà che è arrivato il momento dei miei definitivi,per stasera,
saluti dal web.

[smaug]

Ciao,Ciampax!
No,io stò dicendo solo che \( \displaystyle \exists\lim_{{{x}\to{0}}}\frac{{{{x}}^{{3}}{\cos{{\left({{x}}^{{2}}+{x}\right)}}}}}{{{{e}}^{{-{x}}}{\log{{\left({1}-{2}{x}\right)}}}+{s}{e}{n}{2}{x}}}=\lim_{{{x}\to{0}}}\frac{{{{x}}^{{3}}{\cos{{\left({{x}}^{{2}}+{x}\right)}}}}}{{{{e}}^{{-{x}}}{\left(-{2}{x}\right)}+{2}{x}}}=\lim_{{{x}\to{0}}}\frac{{{{x}}^{{3}}{\cos{{\left({{x}}^{{2}}+{x}\right)}}}}}{{{\left(-{2}{x}\right)}{\left({{e}}^{{-{x}}}-{1}\right)}}}=\lim_{{{x}\to{0}}}\frac{{-\frac{{x}}{{2}}{\cos{{\left({{x}}^{{2}}+{x}\right)}}}}}{{\frac{{{{e}}^{{-{x}}}-{1}}}{{-{x}}}}}=\cdots \):
saluti dal web.

Molto chiaro, Theras

A denominatore invece mi rendo conto che servono proprio gli sviluppi di Taylor:

\( \displaystyle {{e}}^{{-{x}}}{\log{{\left({1}-{2}{x}\right)}}}+{\sin{{\left({2}{x}\right)}}}={\left({1}-{x}+\frac{{{x}}^{{2}}}{{2}}-\frac{{{x}}^{{3}}}{{3}}+{o}{\left({{x}}^{{3}}\right)}\right)}\cdot{\left(-{2}{x}-{2}{{x}}^{{2}}-\frac{{8}}{{3}}{{x}}^{{3}}+{o}{\left({{x}}^{{3}}\right)}\right)}+{2}{x}-\frac{{4}}{{3}}{{x}}^{{3}}+{o}{\left({{x}}^{{3}}\right)}= \)
\( \displaystyle =-{2}{x}-{2}{{x}}^{{2}}-\frac{{8}}{{3}}{{x}}^{{3}}+{2}{{x}}^{{2}}+{2}{{x}}^{{3}}-{{x}}^{{3}}+{2}{x}-\frac{{4}}{{3}}{{x}}^{{3}}+{o}{\left({{x}}^{{3}}\right)}-{3}{{x}}^{{3}}+{o}{\left({{x}}^{{3}}\right)} \)

Ho chiarito i miei dubbi su questo esercizio, ma ne ho ancora un altro, ho capito che lo sviluppo in zero di funzioni non infinitesime non sempre sono utili, ed ho visto il motivo, infatti per \( \displaystyle {x}\to{0} \) \( \displaystyle {\cos{{\left({{x}}^{{2}}+{x}\right)}}}={1} \), ma allora non sarebbe la stessa cosa per \( \displaystyle {x}\to{0} \) di \( \displaystyle {{e}}^{{-{x}}}={1} \) perchè facendone lo sviluppo il limite viene, mentre se si considera \( \displaystyle {1} \) non viene? So che queste domande posso sembrare sciocche, però non l'ho capito! Siete stati gentili e disponibili, grazie mille!

[ciampax]

Eh no: la rgola di eliminare le cose non infinitesime (o infinite) vale solo per prodotti in cui non sono presenti somme (come a numeratore). Sotto invece \( \displaystyle {{e}}^{{-{x}}} \) è sì moltiplicata per il logaritmo, ma poi il tutto è sommato alla funzione seno, e questo porta a cancellazione degli ordini di infinitesimo più piccoli. Se avessi sviluppato solo \( \displaystyle {\log{{\left({1}-{2}{x}\right)}}}+{\sin{{\left({2}{x}\right)}}} \) avrei ottenuto \( \displaystyle {2}{{x}}^{{2}}+{o}{\left({{x}}^{{2}}\right)} \) che è un risultato errato.

[smaug]

Eh no: la rgola di eliminare le cose non infinitesime (o infinite) vale solo per prodotti in cui non sono presenti somme (come a numeratore). Sotto invece \( \displaystyle {{e}}^{{-{x}}} \) è sì moltiplicata per il logaritmo, ma poi il tutto è sommato alla funzione seno, e questo porta a cancellazione degli ordini di infinitesimo più piccoli. Se avessi sviluppato solo \( \displaystyle {\log{{\left({1}-{2}{x}\right)}}}+{\sin{{\left({2}{x}\right)}}} \) avrei ottenuto \( \displaystyle {2}{{x}}^{{2}}+{o}{\left({{x}}^{{2}}\right)} \) che è un risultato errato.

Perfetto, grazie!