Non hai nulla di cui scusarti:
andiamoci con ordine
,va bene?
Cos'è,a norma di definizion,l'ordine d'infinitesimo per una funzione f(x) che,a sua volta,è infinitesima?
Nel tuo testo ci sarà scritto che è il solo \( \displaystyle \alpha \) t.c \( \displaystyle \exists\lim_{{{x}\to{0}}}\frac{{{f{{\left({x}\right)}}}}}{{{{x}}^{{\alpha}}}}={l} \)\( \displaystyle \in\mathbb{R}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace} \):
che vuol dire questa cosa?
Significa innanzitutto che,se trovo il sifatto \( \displaystyle \alpha \),
appena proverò a calcolare \( \displaystyle \lim_{{{x}\to{0}}}\frac{{{f{{\left({x}\right)}}}}}{{{{x}}^{{\beta}}}} \),con \( \displaystyle \beta\lt\alpha \),otterrò subito che quest'ultimo di certo è nullo
(pensa ad ex che \( \displaystyle \lim_{{{x}\to{0}}}\frac{{{1}-{\cos{{x}}}}}{{{{x}}^{{{1.9}}}}}=\lim_{{{x}\to{0}}}\frac{{{1}-{\cos{{x}}}}}{{{{x}}^{{2}}}}{{x}}^{{{0.1}}}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{0}={0}\cdots \)):
in modo del tutto analogo,se \( \displaystyle \beta\gt\alpha \),potresti subito affermare che quel rapporto è infinitamente grande..
Ma ancor più quella strana definizione significa che,
in un intorno opportunamente piccolo del "valore" cui la x stà passando al limite
(virgoletto perchè potrebbe esser pure \( \displaystyle {x}\to+\infty \) o \( \displaystyle {x}\to-\infty \),e benche non siano numeri reali il discorso non cambierebbe..),
la f(x) può essere approssimata ad \( \displaystyle {l}{{x}}^{{\alpha}} \) a meno di quantità infinitesime ovvero piccolissime
(prova ad esempio a calcolare \( \displaystyle {1}-{\cos{{0.0000001}}} \) con la calcolatrice scientifica,
e vedrai quanto piccola sarà la differenza tra tale risultato e \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}}{{\left({0.0000001}\right)}}^{{2}} \)..):
in tale intorno \( \displaystyle {I} \) si potrà cioè scrivere,
con approssimazione ottima(sopratutto perchè si stà provando a determinare il valore d' un limite..),
che f(x) sarà sempre "quasi uguale" a \( \displaystyle {l}{{x}}^{{\alpha}} \) per tutte le \( \displaystyle {x} \)\( \displaystyle \in{I} \),
ed è questo il significato,detto in termini un pò diversi,della scrittura \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}\sim{l}{{x}}^{{\alpha}} \)
(che non a caso vien detta "stima"..)!
Questo fatto comporta che potrai,ogni volta che un limite ti mette in difficoltà,
provare(mica è certo sia utile o indispensabile..)a sostituire
solo le quantità infinitesime che in esso compaiono con l'espressione \( \displaystyle {{x}}^{{\alpha}} \) che ben le approssima,
anche se "unicamente" in un opportuno intorno di ciò a cui tende la x
(ammesso e non concesso però che,usando i limiti notevoli,
tu sappia individuare subito l'ordine \( \displaystyle \alpha \) nel senso della definizione data..):
tanto ci pensa la presenza stessa del limite,a rendere legittima questa sostituzione bruta che spesso è utile
(anche se esposta così la mia spiegazione non è formalmente inappuntabile,
ma voglio intanto renderti l'idea perchè ho la sensazione che tu non ne sia ancora del tutto padrone e,se vorrai,
del formalismo ne riparlerai con me od altri..)!
Ora prova a far tali sostituzioni nel tuo limite(ma solo con gli infinitesimi,mi raccomando..),
e poi facci sapere:
saluti dal web.
