limite

[luna77]

ciao a tutti, ho problemi con questo limite, grazie a chiunque sia disposto a dedicarmi del tempo

\(\displaystyle \lim_{{x}\to 0} \frac{ log(2cos(x)-cos^2(x))cos(arctg(x))}{ x^2 sen(x+30)tg \left( \frac{ x^2}{x+2 }\right) } \)

\(\displaystyle = \frac{ 0}{ 0} \)

\(\displaystyle = \lim_{{x}\to 0} \frac{ cos(arctg(x))}{ sen(x+30) } \frac{ log(2cos(x)-cos^2(x))}{ x^2} \frac{ 1}{ tg \left( \frac{ x^2}{x+2 }\right) } \)


\(\displaystyle = \lim_{{x}\to 0} \frac{ cos(arctg(x))}{ sen(x+30) } \frac{1}{x^2 } \left( 2cos(x)-cos^2(x)-1\right) \frac{ x+2}{ x^2} \)


\(\displaystyle = \lim_{{x}\to 0} \frac{ cos(arctg(x))}{ sen(x+30) } \left( 2cos(x)-cos^2(x)-1\right) \frac{ x+2}{ x^4} \)


a questo punto non so come continuare perché ho nuovamente una forma indeterminata, non so, aiutatemi, grazie

[giammaria]

Chiariamoci le idee cominciando a calcolare il limite dei fattori che non contribuiscono alla forma indeterminata, cioè la prima frazione e $x+2$; si ottiene
$1/(1/2)*2 *lim_(x->0)(-1+2cosx-cos^2x)/x^4=4lim_(x->0)(-(1-cosx)^2)/x^4=-4lim_(x->0)((1-cosx)/x^2)^2=-4*(1/2)^2=-1$

[luna77]

grazie mille!!