Linuaggio di primo ordine

[Axel1]

Come posso dimostrare che :

\( \displaystyle \neg\exists{x}\forall{y}{\left(\ {Q}{\left({x},{y}\right)}\ \Leftrightarrow\ \neg{Q}{\left({y},{y}\right)}\ \right)} \)

ho provato sia eliminando il not davanti all'esistenziale e poi ancora davanti all'universale ma non sono riuscito a venirne a capo.... forse essendo che i quantificatori sono legati ad entrambe le occorrenze di Q ce qualche problema (per me almeno ) qualcuno saprebbe darmi un aiuto?

[j18eos]

Benvenuto,

da quanto leggo (e capisco a quest'ora), puoi provare a dimostrare quella formula considerando il caso che sia \(x=y\).

[Axel1]

mhm non devo dimostrarlo con tavole di verità o induzione ma utilizzando le regole della deduzione naturale sui linuaggi di prim'ordine (regole di introduzione ed eliminazione in particolare sui quantificatori \( \displaystyle \forall\ \exists \)

questo è il testo completo dell'esercizio:

Dimostrare, usando il metodo che preferite, che:
\( \displaystyle \neg\exists{x}\forall{y}{\left(\ {Q}{\left({x},{y}\right)}\ \Leftrightarrow\ \neg{Q}{\left({y},{y}\right)}\ \right)} \)

[Suggerimento: leggendo P(x, y) come “x ama y”, questo teorema del calcolo
dei predicati afferma che non c’`e nessuno che ama tutti e soli quelli che non
amano se stessi: se ci fosse, amerebbe se stesso o no, ed in entrambi i casi si
avrebbe una contraddizione.]