Logaritmi

[stevino]

Salve a tutti,
vorrei sapere come posso procedere per approssimare un logaritmo senza l'uso di calcolatori.

es. calcolare log 7 con un errore inferiore a 2 centesimi.

[Paolo90]

Una volta esistevano le tavole logaritmiche (non le tavole numeriche di oggi!). Ora c'è la calcolatrice e quasi più nessuno insegna a trovare i logaritmi a mano (e si capisce perchè!).

Qualche anno fa, mi era saltato fuori questo "pallino" e avevo imparato da autodidatta a trovarmi i logaritmi con le tavole; era una bella procedura di cui però ricordo ben poco. In sostanza, la ricerca si divideva in due tempi: occorreva prima cercare la parte intera del logaritmo (che per numeri abbastanza bassi e base decimale è relativamente semplice). Poi occorreva cercare la "mantissa", cioè la parte decimale e qui usavi le tavole. Poi potevi anche interpolare per trovare logaritmi di numeri con la virgola. Oltre a questo però non ricordo più nulla.
Con le tavole, poi si poteva risolvere in maniera approssimata e abbastanza rapida anche il problema inverso (dato un numero, si determini il numero \( \displaystyle {x} \) il cui logaritmo in base dieci è il numero dato).

Ti lascio i dati delle mie tavole, se per caso tu riuscissi a trovarle ancora in commercio (io ho faticato non poco un paio di anni fa.. sono introvabili):
L. Brasca - E. Levi, "Logaritmi e altre tavole matematiche fondamentali", 26° edizione, Ghisetti e Corvi.
In appendice al volume c'è un'ottima e approfondita guida che ti spiega come fare tutto.

[stevino]

Capito, il problema è che devo affrontare un test, e non posso usare tavole.
Avevo pensato di applicare il polinomio di tayor ma ho avuto alcune difficoltà.

[Lord K]

Effettivamente il calcolo mediante Taylor deve avere alcuni accorgimenti in fase di calcolo se vuoi che la serie converga.

Il fatto è che usualmente lo sviluppo viene fatto attorno a 1, analogamente dovresti ridurti ad un intorno di 1 con il valore che cerchi. Fai qualche tentativo

[Martino]

[mod="Martino"]Cortesemente mi dici perche' posti questo intervento in algebra?
Sposto in analisi numerica.[/mod]

[topi]

Suppongo che si tratti di logaritmi in base 10.
Prendo la decade da 1 a 10. Per altre dacadi basta aggiungere o togliere 1 quante sono le decadi in più o in meno.
0 è il logaritmo di 1 e 1 quello di 10.
0,5 è il logaritmo di di 3,16 (radice quadrata di 10; facile da ricordare, dato che 3,20 è la radice quadrata di 10,24; se togliamo il 2,4% dal quadrato, dobbiamo togliere solo 1,2% dalla radice e 3,20 -1,2% fornisce proprio 3,16)
0,7 è il logaritmo di 5 (questo è bene saperlo a memoria), da cui si deduce subito che
0,3 è il logaritmo di 2 (in quanto 0,7 + 0,3 = 1 e 2*5=10)
0,4 è il logaritmo di 2,5 (in quanto 0,4 + 0,3=0,7 e 2*2,5=5)
0,6 è il logaritmo di 4 (in quanto 0,3+0,3=0,6 e 2*2=4)
0,9 è il logaritmo di 8 (in quanto 0,3+0,6=0,9 e 2*4=8)
.....
Quando si raddoppia/dimezza la cifra, il suo logaritmo cresce/cala di 0,3
Quando si moltiplica/divide per 1,26 la cifra , il suo logaritmo cresce /cala di 0,1
...
Per far crescere/calare il logaritmo di 0,01 la cifra deve variare del 2,3%.

Esercizio: trovare il logaritmo di 7
0,8 (doppio di 0,4) è il logaritmo di 6,25 (quadrato di 2,5)
7 è circa media geometrica di 6,25 e 8 ed il suo logaritmoè media aritmetica di 0,9 e 0,8, ossia 0,85.
In effetti è 0,845
macchinoso, ma non difficile...

[*vitov87]

ciao a tutti!

avrei bisogno di una mano in merito alla definizione di logaritmo!
se il log in base a di b = a elevato a x =b

voglio sapere

log in base 4 di 64 =x
4 elevato a x = 64!

ok! è ovvio che facendo due prove con la calcolatrice risulti che 4 elevato a 3 = 64

ma nel caso in cui nn l'avessi? come trovo la x? cioè l'esponente sapendo che 4 elevato a x = 64??

GRAZIE!

[itpareid]

in poche parole:

\( \displaystyle {{4}}^{{x}}={64} \)
devi cercare di mettere il \( \displaystyle {64} \) come \( \displaystyle {4} \) elevato a qualcosa
\( \displaystyle {{4}}^{{x}}={{4}}^{{3}} \)
adesso che hai le basi uguali puoi uguagliare gli esponenti
\( \displaystyle {x}={3} \)

...ma non è un quesito di analisi numerica

[*vitov87]

si questo l'avevo capito!

infatti cervellandomi ho trovato la soluzione!
cioè
64/4=16
16/4=4
4/4=1

soluzione 4^3

ma con questo?
log1/3 di (radiceq 3)/9 ???

[dissonance]

[mod="dissonance"]@vitov: Ciao! Clicca su formule per imparare a scriverle correttamente. Grazie.[/mod]