Logica: falso \( \displaystyle \Rightarrow \) vero?

[nato_pigro]

Devo dimostrare che, date le classi \( \displaystyle \varphi \), \( \displaystyle {C} \) e \( \displaystyle {U}{U} \) dove \( \displaystyle \varphi \) è l'insieme vuoto definito come \( \displaystyle {\left\lbrace{x}{\mid}{x}\ne{x}\right\rbrace} \), \( \displaystyle {C}={\left\lbrace{x}{\mid}{P}{\left({x}\right)}\right\rbrace} \) è una classe qualsiasi, \( \displaystyle {U}{U} \) la classe universo definita come \( \displaystyle {\left\lbrace{x}{\mid}{x}={x}\right\rbrace} \)

\( \displaystyle \varphi\subseteq{C}\subseteq{U}{U} \)

\( \displaystyle \varphi\subseteq{C} \): se P.A. \( \displaystyle \exists{x}\in\varphi{\mid}{x}\in{C} \) allora, in particolare*, \( \displaystyle \exists{x}\in\varphi\Leftrightarrow\exists{x}{\mid}{x}\ne{x} \) il che è assurdo. Quindi la tesi.

\( \displaystyle {C}\subseteq{U}{U} \): se P.A: \( \displaystyle \exists{x}\in{C}{\mid}{x}\notin{U}{U} \) allora, in particolare*, \( \displaystyle \exists{x}{\mid}{x}\ne{x} \) che è assurdo. Quindi la tesi.

Ammesso che siano giuste le dimostrazioni (e ho dei dubbi se siano corretti i passaggi asteriscati *), io ottengo, per la transitiva dell'inclusione, che \( \displaystyle {\left(\forall{x}\in\varphi.{x}\in{U}{U}\right)}\Leftrightarrow{\left({x}\ne{x}\Rightarrow{x}={x}\right)} \) e cioè che una cosa sempre falsa implica una tautologia. E' possibile?

[nato_pigro]

nobody helps me?

[orazioster]

Parlo giusto per la tua domanda, a parte
lo svolgimento della dimostrazione che hai proposto: no.
Il falso implicaqualsiasi cosa.
-a falso omnia discendunt, dicevano nel medioevo, se il mio latino non falli.

L'implicazione (A => B) con A falso è sempre vera: /l'implicazione/ è sempre vera. B può
essere vero o falso.

Questa la tabella Booleiana della implicazione semplice:

A => B
_____
V V V
V F F
F V V
F V F

[nato_pigro]

Parlo giusto per la tua domanda, a parte
lo svolgimento della dimostrazione che hai proposto: no.

non ho capito: è sbagliata la dimostrazione?

Il falso implicaqualsiasi cosa.
-a falso omnia discendunt, dicevano nel medioevo, se il mio latino non falli.

Si questo mi sta bene, ma mi sembrava strano che potesse implicare una tautologia...

[orazioster]

No, intendevo dire che
non volevo entrare nel merito della dimostrazione: "no" era riferito, in generale,
alla domanda "falso => vero ?".

Dagli "assurdi" che hai trovato
viene:
per tutti gli x: [(NON esiste un x elemento di phi) AND (NON esiste un x NON elemento di UU)].

(scusate se l'ho scritto così, non ho dimestichezza nello scrivere le formule).

Invero, nella conclusione hai scritto: "per tutti gli x elementi di phi AND elementi di UU" SE E SOLO SE...
Ma questa non è una formula, perchè "per tutti gli x elementi di phi AND elementi di UU" non è un enunciato;
non puoi usarlo come "connesso logicamente" ad un enunciato.
Si potrebbe scrivere: "per tutti gli x: (esiste un x tale che: x sia elemento di phi AND elemento di UU) SE E SOLO SE (x diverso da x AND x uguale ad x)" . Il secondo
enunciato è falso di suo, il primo enunciato è falso di suo. La doppia implicazione è vera.

[nato_pigro]

scusa ma non riesco proprio a capire a cosa ti riferisci. Capisco che stai cercando di spiegarmi ma non potresti quotarmi per avere ben chiaro quali sono i soggetti?

io comunque non ho scritto "per tutti gli x elementi di phi AND elementi di UU" SE E SOLO SE"
io ho sciritto "per tutti gli x appartenenti al vuoto, (o -al posto di ","- si ha che) x appartiene all'insieme universo. E questa è la definizione di inclusione, nè più ne meno. Poi, il vuoto e l'insieme universo sono classi, per cui si ha che un elemento appartiene a una classe sse verifica la condizione che "descrive" la classe. e le condizioni "x diverso da x" e "x uguale a x" sono le condizioni che desrivono rispettivamente il vuoto e l'universo. Per questo ho messo che la prima proposizione è equivalente a \( \displaystyle {\left({x}\ne{x}\Rightarrow{x}={x}\right)} \)

[orazioster]

-ma non esiste un x appartenente al vuoto.

(ho cancellato correggendo, non ne è stata distorta la discussione)

[nato_pigro]

bè, ma io non lo so ancora che non esiste un elemento nell'insieme vuoto... e comunque se dico "per ogni x sia che ..." non implica che "esiste un x tale che ..."

[orazioster]

Lacsiami leggere attentamente il tuo svolgimento.

[orazioster]

∃x∈ϕ⇔∃x|x≠x il che è assurdo.

Ma non hai da ciò dimostrato \( \displaystyle \nexists{x}{\mid}{x}\in\varphi \)?