Ma...esiste?

[Piera]

dire se esiste una funzione f(x) con derivata seconda continua e positiva per ogni x reale (f''(x) > 0 sempre) tale che
f'(0)=1
f(x) <= 100 per ogni x positivo

[Giusepperoma]

no!

non esiste!

se f"(x) > 0 per ogni x significa che la concavita' e' rivolta verso l'alto SEMPRE.

la limitazione f<k per x>x_0 , insieme alla prima, implica che f e' decrescente, cioe' che per ogni x

f' < 0

spero di non aver fatto errori...

[Piera]

ti posso dire che non è vero che f' <0 per ogni x

[cavallipurosangue]

L'ultima condizione fa si che l'interesse dele nostra ricerca si restringa al primo ed al quaro quadrante dato che deve esser limitata per ogni x positivo, dato però che nell'origine la funzione è asintotica alla bisettrice del primo e terzo quadrante \( \displaystyle {f{'}}{\left({0}\right)}={1} \) e che è strettamente convessa e continua possiamo escludere anche il quarto quadrante e limitarci al primo. Dato che la funzione è strettamente convessa su tutto \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{+} \) e parte con un angolo \( \displaystyle \theta=\frac{\pi}{{4}} \) che aumenta al con il crescere di x si ha che nella migliore delle ipotesi la funzione cresce come \( \displaystyle {y}={x} \) quindi già quando \( \displaystyle {x}={100} \) \( \displaystyle {y}={100} \). Quindi non esiste con le caratteristiche cercate.
Forse sarà l'ora, ma penso sia giusto...

[Giusepperoma]

ti posso dire che non è vero che f' <0 per ogni x

ok, ok...

f'<=0 per ogni x

[vecchio]

si beh...immagino che volesse dire f'>0...

cmq...faccio un appunto..chiaramente stiamo dando per scontato che la f(x) sia definita per ogni x...in questo caso, allora come dice giuseppe non esiste...

anche qui avrei qualche piccolo appunto...però...

[cavallipurosangue]

Ma alessandro ha detto che la derivata seconda è continua su tutto \( \displaystyle \mathbb{R} \), quindi anche la funzione lo è.

[vecchio]

provo a fare il guasta feste...forse era meglio che esplicitavi anche che la funzione fosse derivabile fino al 2° ordine...ma forse questo è implicito nell'affermazione "continua per ogni x"...

ma ipotizziamo per un attimo che non sia richiesta la derivabilità...ma solo la continuità...
allora prova da immaginare una parabola, con concavità verso l'alto, che per x>0, non può andare oltre il valore f(x)=100...per cui una volta arrivata lì, è come se "rimbalzasse" (nota i termini tecnici e rigorosi!!;)) all'indietro e però riprovasse a superare il valore f(x)=100 sempre arrivandovi come una parabola...in questo modo fino all'infinito..

la funzione così fatta non è derivabile (nemmeno al primo ordine) in tutti i punti di "rimbalzo", cioè quando f(x)=100...

però la derivata seconda è sempre positiva e continua (nel suo domino!!! non ha senso dire che non è continua dove non è definita ok?)...

in questo caso allora la funzione da te cercata esiste...

ma questa è solo una speculazione...piuttosto forzata anche...credo infatti che sia sottointesa la condizione di derivabilità!!

saluti
il vecchio

[Piera]

il discorso di cavalli non mi è del tutto chiaro ,
quello che dice giuseppe non è vero, f' è
positiva.

posto la dimostrazione della non esistenza:
applichiamo il teorema di lagrange su [0, x] con x positivo:
[f(x) - f(0)]/x = f'(c) con c su [0,x]
dal fatto che f'(0) =1 e f''(x) >0 segue che f'(c) >1
si ha allora f(x) >f(0) +x
quale che sia f(0) si può sempre prendere un x tale che f(x) > 100

[cavallipurosangue]

sinceramente, ho riletto ed ho scritto da cani, ma volevo dire questo:
la funzione parte nell'origine con derivata unitaria e se la derivata seconda è continua e sempre positiva, allora non esisterà nessun punto maggiore di zero in cui la funzione intersechi la bisettrice del primo e terzo quadrante. Quindi anche al tendere della derivata seconda a zero si ha che la funzione è asintotica a \( \displaystyle {y}={x} \) e quindi anche in questo caso illimitata.