Maatrici diagonali dominanti e definite positive

[squalllionheart]

Ho i brividi, ma stranamente non per il freddo...
Stamattina mi metto a fare il seguente esercizio:
Data la matrice A:
\( \displaystyle {A}={\left(\matrix{-{1}&-\frac{{1}}{{2}}&{0}&{0}\\-\frac{{1}}{{2}}&{1}&-\frac{{1}}{{4}}&{0}\\{0}&-\frac{{1}}{{4}}&-{1}&-\frac{{1}}{{6}}\\{0}&{0}&-\frac{{1}}{{6}}&{1}}\right)} \)
Dire quanti autovalori positivi e quanti negativi possiede.
La guardo e vedo che è DIAGONALE DOMINANTE IN SENSO STRETTO, DICO BE' allora è A è diagonale dominante in senso stretto è definita positiva, segue ha tutti e quattro gli autovalori positivi, poi però uso Gashgorin e cado in contraddizione dato che ho due autovalori positivi e due negativi. Allora è sbagliato il teorema sulle matrici diagonali dominanti in senso stretto, o semplicemente tra le ipotesi (che a questo punto credo di aver dimenticato) serviva anche con elementi diagonali positivi?
Grazie.

[dissonance]

No, non è definita positiva. Chiama \( \displaystyle {e}_{{1}}={\left[\matrix{{1}\\{0}\\{0}\\{0}}\right]} \). Allora \( \displaystyle {{e}_{{1}}^{{T}}}{A}{e}_{{1}}=-{1} \).

[squalllionheart]

il teorema ha l'aggiunta di quell'ipotesi? elementi sulla diagonale positivi?

[dissonance]

Mannaggia, e chi si ricorda più... Mi stai facendo fare un ripasso accelerato di calcolo numerico!

[qualche minuto dopo] Allora: non è detto che una matrice a stretta predominanza diagonale sia definita positiva e la nostra \( \displaystyle {A} \) ne è un esempio. Questo succede però se \( \displaystyle {A} \) è Hermitiana e ha tutti gli elementi sulla diagonale principale strettamente positivi. Questo perché gli autovalori di una matrice Hermitiana sono sicuramente reali: applicando il teorema di Gerschgorin trovi che essi sono necessariamente tutti strettamente positivi.

Comunque, non mi sembra opportuno di ricordarsi tutta questa casistica. La cosa veramente importante è una sola: il teorema di Gerschgorin.

[squalllionheart]

Ok grazie mille
Un bacio Mari

P.s
Hai ragione anche tu sul fatto della casistica ma di fronte all'orologio che non si ferma e al compito sempre più lungo della proff l'unica soluzione e cercare di estrapolare delle cose al volo.
P.s.s
Prego (Per il tuo grazie dato che ti sto facendo ripassare )