Maggiorazione limite in 2 variabili

[Catanzani]

Salve a tutti, dovrei fare uno studio di continuità sulla seguente funzione di 2 variabili:

\(\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}} & (x,y)\neq0\\
0 & (x,y)=0\end{cases} \)

Lo studio deve essere effettuato nel punto critico 0.

Procedo quindi con il limite in coordinate polari:

\(\displaystyle lim_{(x,y)\rightarrow0}\frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{\rho^{2}cos^{3}\theta sin\theta}{\rho^{2}cos^{4}\theta+sin^{2}\theta} \) (1)

Ora se \(\displaystyle sin^{2}\theta \) è pari a 0 allora il limite va a 0, lo stesso se \(\displaystyle sin^{2}\theta \) è diverso da 0. Lo stesso se prendessi in considerazione il coseno.

Se però maggiorassi la funzione, otterrei:

\(\displaystyle \frac{\rho^{2}cos^{3}\theta sin\theta}{\rho^{2}cos^{4}\theta+sin^{2}\theta}\leq\frac{\rho^{2}}{\rho^{2}cos^{4}\theta+sin^{2}\theta} \) (2)

Ma non potrei maggiorare anche il denominatore e dire che:

\(\displaystyle \frac{\rho^{2}cos^{3}\theta sin\theta}{\rho^{2}cos^{4}\theta+sin^{2}\theta}\leq\frac{\rho^{2}}{\rho^{2}+1} \) ?

Perchè nel secondo caso otterrei che il limite fa 0, concordemente allo studio di (1).

Studiando la 2 ottengo che, per \(\displaystyle sin^{2}\theta \) il limite fa 1, mentre per \(\displaystyle sin^{2}\theta \) che è diversa da 0 il limite fa 0. Non è quindi lo stesso valore che ottengo in (1).

Sapreste darmi qualche spiegazione per favore?

Grazie 1000.
Saluti

[Lorin]

Sei sicuro che la maggiorazione che hai fatto nel passo (2) sia giusta!?
togliendo delle quantità positive al numeratore il valore della frazione diminuisce non aumenta.

Prova a ragionare così: $(x^3y)/(x^4+y^2)<=(x^3y)/(x^2+y^2)$
ora prova a continuare tu se ci riesci...

[Catanzani]

Scusa, ma perchè usi questa maggiorazione? Mi sembra che non valga per gli x compresi tra 0 e 1...

[Lorin]

Che significa non vale per x compresi tra 0 e 1?

poi guarda la tua (2) quella si che non vale..

[dissonance]

In primis, a tutti e due: per avere disuguaglianze significative dovete metterci il valore assoluto. Senza quello non potete concludere che il membro sinistro tende a 0 quando il membro destro tende a 0.

In secundis, sulla presunta disuguaglianza congetturata da Lorin (col valore assoluto, concordemente con quanto dicevo prima):
\[\tag{!!} \frac{\lvert x\rvert^3 \lvert y\rvert}{x^4+y^2} \le \frac{\lvert x\rvert^3\lvert y\rvert}{x^2+y^2}, \]
ha ragione Catanzani: è falsa nella striscia \(\{(x, y)\mid \lvert x \rvert < 1\}\). Per esempio, lungo la retta \(y=1\) essa diventa
\[x^4\ge x^2,\]
che è verificata per \(\lvert x \rvert \ge 1\).

[Raptorista]

Faccio eco a dissonance ed aggiungo che la relazione (2) del primo post è corretta [dopo aver aggiunto i moduli], infatti il membro di sinistra si ottiene moltiplicando quello di destra per la quantità \(\cos^3 \theta \sin \theta\) che ha modulo sempre minore o uguale a \(1\).

Per quanto riguarda la domanda di Catanzani: se sostituisci al denominatore una quantità più grande, ottieni una frazione che globalmente è più piccola, quindi per maggiorare una frazione devi minorare il denominatore. Chiaro?