Maledetta riduzione a gradini

[mirko_b]

Salve a tutti!
Sto diventando pazzo con una maledetta ridduzione a scala di una matrice...ecco il problema

L'esercizio mi dice che c'è un' applicazione lineare definita da:
\( \displaystyle {T}{\left({x}_{{1}};{x}_{{2}};{x}_{{3}}\right)}={\left({2}{k}{x}_{{1}}-{x}_{{2}};{x}_{{2}}+{k}{x}_{{3}};{x}_{{1}}+{x}_{{2}}-{x}_{{3}};{x}_{{1}}-{x}_{{2}}\right)} \)
e mi chiede di trovare dimensione del nucleo e dell'immagine di T al variare di K.
Quindi mi scrivo la matrice associata all'applicazione per poi ridurla a scala e vedere cosa mi salta fuori:
\( \displaystyle {\left(\matrix{{2}{k}&-{1}&{0}\\{0}&{1}&{k}\\{1}&{1}&-{1}\\{1}&-{1}&{0}}\right)} \)
prima prova di riduzione a scala:
\( \displaystyle {R}{1}={R}{1} \)
\( \displaystyle {R}{2}={R}{2} \)
\( \displaystyle {R}{3}={2}{k}{R}{3}-{R}{1} \)
\( \displaystyle {R}{4}={2}{k}{R}{4}-{R}{1} \):

\( \displaystyle {\left(\matrix{{2}{k}&-{1}&{0}\\{0}&{1}&{k}\\{0}&{2}{k}+{1}&-{2}{k}\\{0}&-{2}{k}+{1}&{0}}\right)} \)

\( \displaystyle {R}{1}={R}{1} \)
\( \displaystyle {R}{2}={R}{2} \)
\( \displaystyle {R}{3}={R}{4}-{\left(-{2}{K}+{1}\right)}{R}{2} \)
\( \displaystyle {R}{4}={R}{3}-{\left({2}{K}+{1}\right)}{R}{2} \)

\( \displaystyle {\left(\matrix{{2}{k}&-{1}&{0}\\{0}&{1}&{k}\\{0}&{0}&{2}{{k}}^{{2}}-{k}\\{0}&{0}&-{3}{k}-{2}{{k}}^{{2}}}\right)} \)

ed infine \( \displaystyle {R}{4}={\left(-{3}{k}-{2}{{k}}^{{2}}\right)}{R}{3}-{\left({2}{{k}}^{{2}}-{k}\right)}{R}{4}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)((2k,-1,0),(0,1,k),(0,0,2k^2-k),(0,0,0))\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{L}{a}{q}{u}{a}\le{o}\vee{i}{a}{m}{e}{n}{t}{e}{m}{i}{d}à{i}{l}{r}{i}{s}{\underline{{t}}}{a}\to{s}{b}{a}{g{{l}}}{i}{a}\to\in{q}{u}{a}{n}\to{l}{a}{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}\ne{d}{i}{c}{e}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)dim(Im(T))=3\( \displaystyle {e} \)dim(Ker(T))=0\( \displaystyle \)AAkinRR\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\in{\vec{{e}}}{a}{m}{e}{r}{i}{s}{\underline{{t}}}{a}{c}{h}{e}{d}{o}{v}{r}{e}{\mathbf{{e}}}{r}{o}{d}{i}{p}{e}{n}{d}{e}{r}{e}{d}{a} \)k$, sia con questa riduzione a scala che con altre tre provate, anche se tutte e tre con risultati diversi anche se errori non ne ho trovati.
Ma in teoria ogni riduzione non dovrebbe portare agli stessi risultati? se no come faccio a sapere qual'è giusta o meno?
Secondo voi ho fatto delle operazioni che non potevo fare?
Grazie mille

[squalllionheart]

Guarda che al massamo può essere \( \displaystyle \dim{\left({K}{e}{r}{T}\right)}={1} \)...per l'identita \( \displaystyle \dim{V}=\dim{I}{m}{f{+}}\dim{K}{e}{r}{f} \)
Certo Ogni riduzione porta agli stessi risultati...A primo sguardo va bene, ma dovrei rifare tutti i conti...

[mirko_b]

secondo me è sbagliata la soluzione che propone il libro...