Maledetto fattoriale!

[Simopie]

Ciao a tutti, sono nuovo di qui, ma mi sono iscritto perchè da matematico dilettante quale sono mi sono imbattuto in un problemino...
chiedo solo di essere (nel caso) smentito da qualcuno, quanto dico che:
nella storia dell'umanità e fino alla fine dei tempi NESSUNO mischierà un mazzo di carte da 52 nello stesso modo di qualcun'altro...(di un'altra era o di un'era futura)

...so che può sembrare una sparata...ma . . .

[Simopie]

e ancora:
quando mischiamo innocentemente un mazzo siamo partecipi dell'unica e sola apparizione di quella disposizione di carte nella vita dell'universo...

[prime_number]

Io direi molto poco probabile, non impossibile.

Paola

[Simopie]

nono io ne sono certo

[xXStephXx]

Puoi dimostrare la tua certezza? Ti darei ragione se tu dicessi che nel peggiore dei casi non capiterà mai che due mazzi siano disposti nello stesso modo.

[milizia96]

io ne sono certo

In quanto si tratta di un evento aleatorio, credo che non si possa parlare di certezza assoluta.
E' vero che è poco probabile, ma è comunque possibile.

E poi, se lasciamo perdere per un attimo la probabilità, nel mischiare le carte entra in gioco a mio avviso un altro fattore:
il modo in cui si mescola.
Prendi ad esempio la mescolata all' americana: essa consiste nel dividere il mazzo in due mazzetti approssimativamente uguali, che poi vengono riuniti facendo cadere in modo più o meno alternato le carte di uno e dell'altro mazzetto.
Il che secondo me è diverso dal chiedere ad esempio a un calcolatore di disporre a caso una sequenza di 52 numeri, perché i movimenti che si fanno realmente per mescolare il mazzo sono sempre gli stessi, e portano a situazioni simili.
Se si parte dalla stessa situazione iniziale, a mio avviso non è così improbabile ottenere la stessa situazione finale del mazzo.

[orazioster]

bah -potrebbe pure succedere che due "estrazioni"
su \( \displaystyle {54}! \) possibilità siano "estrazioni" della stessa cosa.

forse volevi dire se il numero di possibilità è maggiore di tutti
gli esseri umani che siano mai stati sulla terra, e che mai vi saranno.

Il punto è come si potrebbe calcolare tale numero.

A parte il futuro -perchè: e chi lo sa quello che succederà!

Per il passato: vi sono dei modelli, o vi possono
essere.
Volevi sapere se questo numero è mai stato calcolato, e come?

[Simopie]

si, il numero è stato calcolato...ora cercherò di spiegarmi come meglio posso:

- in un primo momento avevo erroneamente considerato le possibilità pari a 1 su 52! (il che conferma la mia poca dimestichezza nonostante il mio grande interesse per la matematica), in questo procedimento ovviamente a venir calcolata è la possibilità di comporre una data sequenza di carte alla prima mischiata...il che non tiene conto del fatto che ogni mischiata aggiunge una nuova possibilità di ritrovare una sequenza già uscita...in parole povere ogni volta che si mischia la possibilità aumenta di UN'unità.

- A questo punto ogni mischiata comporta le seguenti possibilità 1/n!...2/n!...3/n!...x/n! dove n è il numero di carte(nel nostro caso 52) e x è l'ennesima mischiata.

- è evidente che per essere sicuri matematicamente di ritrovare una sequenza già uscita in precedenza abbiamo bisogno di n!+1 mischiate...MA SAREBBE VERAMENTE L'IPOTESI PEGGIORE, vorrebbe dire che ad ogni mischiata uscirebbe una combinazione diversa fino a trovarle tutte... se facciamo due conti la cosa risulterebbe difficile ANCHE CON 3,4 CARTE figuriamoci 52...

-quindi partiamo da un esempio: se io ho 3 carte, quando posso esser sicuro di ripescare una stessa sequenza?
alla prima mischiata sicuramente no
alla seconda ho 1 possibilità su n!=3!=6...(è uscita diversa, ritentiamo)
alla terza ho 2 possibilità su 6...(ancora diversa, ritentiamo)
alla quarta ho 3 possibilità su 6...(ma fermi un momento!queste possibilità "relative" non son veritiere!, infatti non van prese singolarmente ma bensì unite tra loro, fino ad avere 1+2+3 possibilità su 6, ed a questo punto abbiamo 6/6 possibilità...infatti la nostra quarta pescata è quella decisiva, statisticamente ci da 6 possibilità su 6.

- ecco allora il punto focale della questione...noi dobbiam trovare quando la somma dei primi x numeri naturali è uguale o maggiore al numero di carte fattoriale(n!)...ci siamo? proseguiamo

- la formula che ci da la sommatoria dei primi x numeri naturali è (x(x+1))/2, ma siccome la prima pescata non fa parte del nostro conteggio(e noi vogliamo sapere le pescate) la formula diventa (x(x-1))/2...bene...QUANDO QUESTA SOMMATORIA è UGUALE A n! ? Semplice! quando (x(x-1))/2n! = 1

- con semplici passaggi troviamo la nostra formula x=RADICE di 2n! +0,5

- inserendo al posto di n il numero di carte che si vuole otterremo la x mischiata necessaria ad essere "sicuri" di ritrovarne una uguale alle precedenti:)

-degli esempi n=2 x=3 mischiata (ovvio a pensarci)
n=4 x=8va mischiata
n=6 x=39sima mischiata
n=10 x= 2695esima mischiata
n=52 x= numero che supera i secondi da quando esiste l'universo e è di miliardi di volte la vita dell'universo

-concludo dicendo che è vero, se consideriamo il fattore umano nel mischiare i mazzi o il fatto che tutti partono con le carte ordinate nello stesso modo e può influire sui mazzi successivi la probabilità di avere uno stesso mazzo esiste...
ma se cosi fosse...abbiam mischiato il mazzo solo in uno degli infiniti modi che esistono, come un granello di sabbia nell'oceano..

[Rggb]

-quindi partiamo da un esempio: se io ho 3 carte, quando posso esser sicuro di ripescare una stessa sequenza?

La nostra sequenza (mazzo ordinato) è 1, 2, 3

alla prima mischiata sicuramente no

[Diciamolo pure... anche se a rigore potrebbe non essere vero.] Bene, ho mischiato e ho la sequenza ("mazzo") 1, 3, 2.

alla seconda ho 1 possibilità su n!=3!=6...(è uscita diversa, ritentiamo)

Seconda mischiata, ottengo la sequenza 2, 1, 3.

alla terza ho 2 possibilità su 6...(ancora diversa, ritentiamo)

Sequenza 2, 3, 1.

alla quarta ho 3 possibilità su 6...(ma fermi un momento!queste possibilità "relative" non son veritiere!, infatti non van prese singolarmente ma bensì unite tra loro, fino ad avere 1+2+3 possibilità su 6, ed a questo punto abbiamo 6/6 possibilità...infatti la nostra quarta pescata è quella decisiva, statisticamente ci da 6 possibilità su 6.

Sequenza 3, 1, 2.

Ehm, eppure nessuna delle sequenze da me fatte vedere è uguale a nessun altra... Dove sta l'inghippo?

Nota bene: potrei ancora mischiare e ottenere la sequenza 3, 2, 1, e ancora non avrei mai visto due sequenze uguali.

[Simopie]

è esattamente quello che dicevo all'inizio...tu potresti mischiare n! volte e non trovare sequenze uguali...IN TEORIA...ma nella pratica non ce la faresti mai;)