Mappa $1$-lipschitziana su un aperto "ciccione" di [0,1]

[Paolo90]

Problema (concorso di ammissione SISSA). Sia $f:[0,1] \to [0,1]$ una mappa continua e iniettiva e $A \subset [0,1]$ un aperto con
\[
A:= \bigcup_{i=1}^{\infty} (a_i,b_i).
\]

Si assuma che

• se $x_1,x_2$ sono due punti in una componente connessa $(a_i,b_i)$ di $A$ allora
  \[
  \vert f(x_1)-f(x_2) \vert \le \vert x_1-x_2 \vert;
  \]
• $f([0,1]\setminus A)$ ha misura nulla (ndr: in questo senso $A$ è "ciccione" ).

Mostrare che la disuguaglianza
\[
\vert f(x_1)-f(x_2) \vert \le \vert x_1-x_2 \vert
\]
vale per ogni $x_1,x_2 \in [0,1]$.

Alcune idee in spoiler.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per assurdo, ammettiamo che esistano $x_1,x_2 \in [0,1]$ tali che
\[
\vert f(x_1)-f(x_2) \vert > \vert x_1-x_2 \vert.
\]

Per ipotesi, fissato $varepsilon>0$ esiste una successione di intervalli aperti $(s_k,t_k)$ (con $k \in \NN$) tali che
\[
f([0,1]\setminus A) \subseteq \bigcup_{k} (s_k,t_k)
\]
e
\[
\sum_{k} t_k-s_k <\varepsilon.
\]
(assumo la misura di Lebesgue su $[0,1]$ ma il testo non è chiaro... forse basta Peano-Jordan?).

Chiaramente, $x_1$ e $x_2$ non possono vivere nella stessa componente connessa di $A$. Ma adesso? Distinguo un po' di casi?

Devo considerare il caso in cui sia $x_1$ che $x_2$ stanno in A (ma in due componenti connesse distinte), il caso in cui uno sta in $A$ e l'altro no e il caso in cui entrambi stanno in $[0,1] \setminus A$. Qualche idea?

Devo tirare in ballo anche l'ipotesi di iniettività: a che mi può servire? Io ho anche pensato al teorema del punto fisso (servirà?).

Grazie in anticipo per l'aiuto.

[Paolo90]

Riporto su.

[Rigel]

\(f\) è strettamente monotona (supponiamo crescente); fissati \(x_1 < x_2\) in \([0,1]\) abbiamo dunque che:
\[
\begin{align}
0 & < f(x_2) - f(x_1) = |f([x_1, x_2])| = |f([x_1, x_2]\cap A)| + |f([x_1, x_2]\setminus A)| = |f([x_1, x_2]\cap A)|
\\ & = \sum_i |f([x_1, x_2]\cap (a_i, b_i))| \leq \sum_i |[x_1, x_2]\cap (a_i, b_i)| = |[x_1, x_2]\cap A| \leq x_2 - x_1.
\end{align}
\]

PS: avevo inizialmente letto la seconda ipotesi come "\([0,1]\setminus A\) ha misura nulla", e avevo di conseguenza costruito il seguente controesempio (che lascio visto che può essere istruttivo).

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sia \(K\) il solito insieme di Cantor (che ha misura nulla), e \(A=[0,1]\setminus K\) il nostro aperto.
Consideriamo la funzione
\[ f(x) := \frac{x + c(x)}{2} , \]
dove \(c:[0,1]\to [0,1]\) è la scala di Cantor.
Questa funzione è continua e strettamente monotona crescente; inoltre, su ogni componente connessa di \(A\) (vale a dire su ogni intervallo aperto dove la funzione di Cantor è costante) si ha che \(f\) è \(1/2\)-Lipschitziana.
Sembrerebbe quindi che \(f\) soddisfi tutte le ipotesi, ma d'altra parte non è una funzione Lipschitziana.

[Paolo90]

Semplice e pulita.

Grazie mille per l'aiuto e anche per aver scritto l'utile controesempio: conoscevo l'insieme di Cantor ma non la scala di Cantor. Grazie.