Massimali in un morfismo di algebre

[Pappappero]

Propongo un problema a cui sto pensando da qualche giorno. La richiesta nasce da un problema di geometria algebrica, ma trova la sua risoluzione (come spesso accade) nella pura teoria degli anelli.

Prendiamo un campo $K$, algebricamente chiuso di caratteristica $0$.
Siano $A$ e $B$ due algebre finitamente generate su $K$.
Si dimostra che queste algebre sono isomorfe a quozienti di anelli di polinomi su $K$. In particolare indichiamo:

$A = {K[x_1, ... , x_n ] }/ I$
$B = {K[y_1, ... , y_m] }/ J$

Sia $\varphi : A \to B$ un $K$-morfismo di algebre, che sia cioè un omomorfismo di anelli da $A$ a $B$ e che valga l'identità su $K$ (o meglio sulle due copie di $K$ immerse nelle due algebre).

E' possibile mostrare che la retroimmagine di un ideale massimale di $B$ è un ideale massimale di $A$???

La risposta dovrebbe essere sì; infatti ho trovato una dimostrazione di questo fatto sul testo di Kenji Ueno - Algebraic Geometry 1 (Lemma 1.23, pg. 22); ma questa dimostrazione fa un passaggio che non riesco a capire.

La metto in spoiler per non dare suggerimenti a chi volesse provare da zero:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Si considera $m$ ideale massimale di $B$ e si prende il morfismo $\psi$ indotto da $\varphi$:

$\psi : A / {\varphi^{-1} (m)} \to B/{(m)}$

Il testo taglia corto dichiarando immediatamente che $\psi$ è un ismorfismo: la massimalità di $m$ ci dice che a destra abbiamo un campo; l'isomorfisimo $\psi$ ci dice che anche a sinistra abbiamo un campo, e questo causa la massimalità della retroimmagine.

Quello che io non riesco a vedere è come si possa dire immediatamente che $\psi$ è un isomorfismo.

Spero di essere stato chiaro. Grazie fin da ora per le risposte.

[Martino]

Considera la composizione \( \displaystyle K \to A \to B/m \) , dove \( \displaystyle K \to A \) e' l'inclusione. La mappa che ottieni \( \displaystyle K \to B/m \) e' un omomorfismo di campi. non credo che serva aggiungere altro.

[Pappappero]

mmm...no..mi manca ancora qualcosa..

Perché in questo modo riesco a mostrare che il campo $B/m$ è isomorfo a $K$.

La composizione da $K$ a $B/m$ è infatti un isomorfismo:

- iniettivo perché morfismo di campi.
- suriettivo perché ho una copia di $K$ anche dentro $B/m$ (forse qui serve la proprietà di chiusura algebrica di $K$, ma ok..in qualche modo si sistema).

Ma questo garantisce allora che anche quello che sta nel mezzo, passato al quoziente, sia un campo???

[Martino]

Hai \( \displaystyle K \to A \to B \to B/m \) . Per vedere che questa composizione e' un isomorfismo devi usare in modo essenziale i seguenti due fatti: \( \displaystyle K \) e' algebricamente chiuso (cioe' non ammette estensioni finite proprie!); \( \displaystyle B \) ha tipo finito su \( \displaystyle K \) .

A questo punto se la composizione \( \displaystyle K \to A \to B \to B/m \) e' (in particolare) suriettiva e' chiaro che anche \( \displaystyle A \to B/m \) e' suriettiva (e questo e' quello che ti serve per concludere).

[Martino]

in qualche modo si sistema

Hai ragione che non è immediato. Ho un attimo sbagliato mira: in effetti c'è un risultato non banale che devi usare per concludere, ed è questo (si tratta di un caso particolare del "Zariski main theorem" - cf. qui, versione 7):

Se \( \displaystyle K \subseteq L \) è un'estensione di campi tale che \( \displaystyle L \) è una \( \displaystyle K \) -algebra finitamente generata allora \( \displaystyle L \) è finitamente generato anche come \( \displaystyle K \) -modulo, in altre parole ha dimensione finita su \( \displaystyle K \) .

PS. E' un risultato che ha l'aria davvero innocente, eppure è proprio difficile da dimostrare!

[Pappappero]

Si ma infatti questo teorema l'ho studiato e lo avrei usato...

E' sulla parte finale che non riesco a concludere...

[Martino]

E' sulla parte finale che non riesco a concludere...

Non capisco cosa non è chiaro.

Tu hai \( \displaystyle K \to A \to B \to B/m \) . E sai che la composizione \( \displaystyle K \to B/m \) e' un isomorfismo, in particolare è un morfismo suriettivo. Questo ovviamente implica che anche \( \displaystyle A \to B/m \) è suriettivo. Chiamalo \( \displaystyle \gamma \) . Esso diventa un isomorfismo quando schiacci a zero quello che va a zero, in altre parole \( \displaystyle A/\gamma^{-1}(m) \cong B/m \) (per la proprietà universale del nucleo, detta anche volendo primo teorema di isomorfismo).

[Pappappero]

Scusami Martino, mi ero perso un tuo post (quando ne hai postati due di fila non avevo visto il primo dei due).

Adesso mi è chiaro.

Solo un'ultima osservazione:

E' immediato che $\gamma^{-1} (m) \subseteq ker(\gamma)$. L'uguale vale perché altrimenti avrei che l'intero morfismo (da $K$ a B/m) non sarebbe iniettivo, giusto?? Insomma, se non fosse proprio uguale schiaccerei a zero degli elementi che invece nel morfismo intero non vanno a zero.

[Martino]

Dato un omomorfismo di anelli \( \displaystyle f:A \to B \) il suo nucleo e' \( \displaystyle f^{-1}(0) \) (per definizione di nucleo).

Nel tuo caso hai \( \displaystyle \varphi:A \to B \) che induce \( \displaystyle \gamma:A \to B/m \) (definita da \( \displaystyle \gamma(a) := \varphi(a)+m \) ). Lo zero di \( \displaystyle B/m \) e' \( \displaystyle m \) , quindi \( \displaystyle \ker(\gamma) = \varphi^{-1}(m) \) . Non mi so spiegare meglio di cosi'.

[Pappappero]

Cristallino...grazie e scusa ancora la perdita di tempo...