matrice associata ad appl. lineare con polinomi

[TommyR22]

salve a tutti, ho un problema con questo quesito:
si considerano le appl. lineari \( \displaystyle {f} \):\( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{{2},{2}}} \)\( \displaystyle \to \) \( \displaystyle \mathbb{R}_{{2}} \)[x], così definita:


f \( \displaystyle {\left({\left(\matrix{{a}&{b}\\{c}&{d}}\right)}\right)} \) = \( \displaystyle {a}-{d}+{\left({a}+{b}\right)}{x}+{\left({c}+{d}\right)}{{x}}^{{2}} \)

e \( \displaystyle {g} \):\( \displaystyle \mathbb{R}_{{2}} \)[x] \( \displaystyle \to \) \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{{2},{2}}} \) così definita:

\( \displaystyle {g{{\left({a}+{b}{x}+{c}{{x}}^{{2}}\right)}}} \)=\( \displaystyle {\left(\matrix{{c}-{a}&{b}\\{b}&{a}+{b}}\right)} \)

adesso detta \( \displaystyle \epsilon \) =\( \displaystyle {\left({1},{x},{{x}}^{{2}}\right)} \), base di \( \displaystyle \mathbb{R}_{{2}} \)[x] ed \( \displaystyle \zeta \) la base standard di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{{2},{2}}} \) , determinare \( \displaystyle {{M}}^{{\zeta,\epsilon}} \)(f) ed \( \displaystyle {{M}}^{{\zeta,\epsilon}} \)(g).

vorrei solamente capire come posso trovarmi queste due matrici tramite le basi assegnate. grazie!

[franced]

salve a tutti, ho un problema con questo quesito:
si considerano le appl. lineari \( \displaystyle {f} \):\( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{{2},{2}}} \)\( \displaystyle \to \) \( \displaystyle \mathbb{R}_{{2}} \)[x], così definita:


f \( \displaystyle {\left({\left(\matrix{{a}&{b}\\{c}&{d}}\right)}\right)} \) = \( \displaystyle {a}-{d}+{\left({a}+{b}\right)}{x}+{\left({c}+{d}\right)}{{x}}^{{2}} \)

e \( \displaystyle {g} \):\( \displaystyle \mathbb{R}_{{2}} \)[x] \( \displaystyle \to \) \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{{2},{2}}} \) così definita:

\( \displaystyle {g{{\left({a}+{b}{x}+{c}{{x}}^{{2}}\right)}}} \)=\( \displaystyle {\left(\matrix{{c}-{a}&{b}\\{b}&{a}+{b}}\right)} \)

adesso detta \( \displaystyle \epsilon \) =\( \displaystyle {\left({1},{x},{{x}}^{{2}}\right)} \), base di \( \displaystyle \mathbb{R}_{{2}} \)[x] ed \( \displaystyle \zeta \) la base standard di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{{2},{2}}} \) , determinare \( \displaystyle {{M}}^{{\zeta,\epsilon}} \)(f) ed \( \displaystyle {{M}}^{{\zeta,\epsilon}} \)(g).

vorrei solamente capire come posso trovarmi queste due matrici tramite le basi assegnate. grazie!

Vediamo l'applicazione \( \displaystyle {f} \):

calcola le immagini della base canonica di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{{2},{2}}} \)

\( \displaystyle {f{{\left({\left(\matrix{{1}&{0}\\{0}&{0}}\right)}\right)}}}={1}+{x} \)

quindi la prima colonna della matrice \( \displaystyle {M} \) è \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}\\{1}\\{0}}\right)} \) ;

per le altre colonne devi fare la stessa cosa..

[TommyR22]

quindi la matrice associata ad f sarebbe questa se non sbaglio:

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{0}&{0}&-{1}\\{1}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{1}}\right)} \)

giusto?

[franced]

quindi la matrice associata ad f sarebbe questa se non sbaglio:

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{0}&{0}&-{1}\\{1}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{1}}\right)} \)

giusto?

Sì, perfetto!

[TommyR22]

ok grazie.
ma invece per quanto riguarda \( \displaystyle {g} \) ?

[franced]

ok grazie.
ma invece per quanto riguarda \( \displaystyle {g} \) ?

Guarda come agisce sulla base canonica dei polinomi:

\( \displaystyle {g{{\left({1}\right)}}}=\ldots \)

\( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}=\ldots \)

\( \displaystyle {g{{\left({{x}}^{{2}}\right)}}}=\ldots \)

Hai capito?

[TommyR22]

(scusa se riprendo ora l'esercizio) cmq così è giusto?

\( \displaystyle {g{{\left({1}\right)}}}={\left(-{1},{0},{0},{1}\right)} \)
\( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={\left({0},{1},{1},{1}\right)} \)
\( \displaystyle {g{{\left({{x}}^{{2}}\right)}}}={\left({1},{0},{0},{0}\right)} \)

[franced]

\( \displaystyle {g} \):\( \displaystyle \mathbb{R}_{{2}} \)[x] \( \displaystyle \to \) \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{{2},{2}}} \) così definita:

\( \displaystyle {g{{\left({a}+{b}{x}+{c}{{x}}^{{2}}\right)}}} \)=\( \displaystyle {\left(\matrix{{c}-{a}&{b}\\{b}&{a}+{b}}\right)} \)

Le immagini della base canonica dei polinomi di \( \displaystyle \mathbb{R}_{{2}}{\left[{x}\right]} \) sono le seguenti:

\( \displaystyle {g{{\left({1}\right)}}}={\left(\matrix{-{1}&{0}\\{0}&{1}}\right)} \)

\( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={\left(\matrix{{0}&{1}\\{1}&{1}}\right)} \)

\( \displaystyle {g{{\left({{x}}^{{2}}\right)}}}={\left(\matrix{{1}&{0}\\{0}&{0}}\right)} \) .

La matrice associata a questa applicazione rispetto alle basi canoniche di \( \displaystyle \mathbb{R}_{{2}}{\left[{x}\right]} \) e \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{{2},{2}}} \) è:

\( \displaystyle {\left(\matrix{-{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{1}&{0}}\right)} \)