Matrice associata ad un endomorfismo dato da un polinomio

[nun8]

Mi viene dato un endomorfismo \( \displaystyle {T}:\mathbb{R}_{{3}}{\left[{t}\right]}\rightarrow\mathbb{R}_{{3}}{\left[{t}\right]}{T}{\left({p}{\left({t}\right)}\right)}={p}{\left({2}{t}+{1}\right)}-{p}{\left({t}-{3}\right)}\) \)
devo scrivere la matrice associata rispetto ad una base a mia scelta che prendo \( \displaystyle {\left\lbrace{1},{t},{{t}}^{{2}}\right\rbrace} \)
devo trovare i vari corrispondenti.Ad esempio \( \displaystyle {T}{\left({1}\right)}= \)? devo sostituire 1 alla t dell endomorfismo? mi sembra cosi banale.
Mi potete aiutare per calcolare \( \displaystyle {T}{\left({1}\right)},{T}{\left({t}\right)},{T}{\left({{t}}^{{2}}\right)} \)?grazie

[vittorino70]

Io farei così.
Nel caso di p(t)=1 ,non comparendo la t,si avrà:
\(\displaystyle p(2t+1)=1,p(t-3)=1 \) quindi \( \displaystyle T(p(t))=1-1=0+0t+0t^2\)
Nel caso di \(\displaystyle p(t)=t \) avremo:
\(\displaystyle p(2t+1)=2t+1,p(t-3)=t-3 \) e quindi \(\displaystyle T(p(t))=(2t+1)-(t-3)=t+4=4+1t+0t^2\)
Nel caso di \(\displaystyle p(t)=t^2 \) avremo:
\(\displaystyle p(2t+1)=(2t+1)^2,p(t-3)=(t-3)^2 \) e quindi \(\displaystyle T(p(t))=(2t+1)^2-(t-3)^2=-8+10t+3t^2 \)
Pertanto la matrice A associata è:
\(\displaystyle A= \begin{vmatrix}0&4&-8\\0&1&10\\0&0&3\end{vmatrix}\)