Matrice associata ad una applicazione lineare e autovalori

[gago]

Ciao.Qualcuno può aiutarmi su questo esercizio?

Sia \( \displaystyle {T}: \) \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) \( \displaystyle \rightarrow \) \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) tale che:
\( \displaystyle {T}{\left({1},{0},{0}\right)}={\left({1},{1},{0}\right)} \)
\( \displaystyle {T}{\left({0},{2},{0}\right)}={\left({2},{0},{2}\right)} \)
\( \displaystyle {T}{\left({0},{0},-{1}\right)}={\left({2},{1},{1}\right)} \)
verificare se è lineare; trovare autovalori; verificare se è iniettiva.

Allora io avevo pensato di ricavarmi la matrice associata all'applicazione lineare e calcolarmi il rango: se il rango è uguale a 3 è iniettiva, se il rango è minore di 3 non è iniettiva. Per gli autovalori non c'è problema li so calcolare. Per verificare se T è lineare da definizione $ T(\alphax + \betay) = \alphaT(x) + \betaT(y).
Però il mio problema è risalire alla matrice associata. Inoltre a cosa la devo applicare la definizione di linearità?

[Gatto89]

Se non ricordo male la linearità segue immediatamente dal fatto che \( \displaystyle {B}={\left\lbrace{\left({1},{0},{0}\right)},{\left({0},{2},{0}\right)},{\left({0},{0},-{1}\right)}\right\rbrace} \) è una base di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \).

Come matrice ti conviene prendere \( \displaystyle {M}_{{{B}}} \) che dovrebbe venire immediata da calcolare

[gago]

Se non ricordo male la linearità segue immediatamente dal fatto che \( \displaystyle {B}={\left\lbrace{\left({1},{0},{0}\right)},{\left({0},{2},{0}\right)},{\left({0},{0},-{1}\right)}\right\rbrace} \) è una base di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \).

Come matrice ti conviene prendere \( \displaystyle {M}_{{{B}}} \) che dovrebbe venire immediata da calcolare

Scusa ma se io non ho la base canonica del tipo \( \displaystyle {B}={\left\lbrace{\left({1},{0},{0}\right)},{\left({0},{1},{0}\right)},{\left({0},{0},{1}\right)}\right\rbrace} \) come faccio a trovare la vera matrice associata? La prima terna di vettori è uguale alla prima terna della base canonica. La seconda no. Quindi divido il trasformato per 2 e ottengo \( \displaystyle {\left({1},{0},{1}\right)} \) invece che \( \displaystyle {\left({2},{0},{2}\right)} \).
Anche la terza terna è diversa dalla canonica e moltiplico per -1 e ottengo \( \displaystyle {\left(-{2},-{1},-{1}\right)} \)

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{1}\\-{2}&-{1}&-{1}}\right)} \) dovrebbe essere così la matrice su cui calcolare gli autovalori?

Per l'iniettività dalla matrice \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{1}\\-{2}&-{1}&-{1}}\right)} \) ottengo la squadra \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{0}\\{0}&-{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}}\right)} \) . Quindi il rango di A è 2 ed essendo minore di n=3 ( \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) ) allora non è iniettiva?

Può essere giusto come ragionamento? La matrice \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{1}\\-{2}&-{1}&-{1}}\right)} \) è corretta?

[franced]

Sia \( \displaystyle {T}: \) \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) \( \displaystyle \rightarrow \) \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) tale che:
\( \displaystyle {T}{\left({1},{0},{0}\right)}={\left({1},{1},{0}\right)} \)
\( \displaystyle {T}{\left({0},{2},{0}\right)}={\left({2},{0},{2}\right)} \)
\( \displaystyle {T}{\left({0},{0},-{1}\right)}={\left({2},{1},{1}\right)} \)
verificare se è lineare; trovare autovalori; verificare se è iniettiva.

La matrice rispetto alla base canonica in partenza e in arrivo è

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&-{2}\\{1}&{0}&-{1}\\{0}&{1}&-{1}}\right)} \)

[gago]

Sia \( \displaystyle {T}: \) \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) \( \displaystyle \rightarrow \) \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) tale che:
\( \displaystyle {T}{\left({1},{0},{0}\right)}={\left({1},{1},{0}\right)} \)
\( \displaystyle {T}{\left({0},{2},{0}\right)}={\left({2},{0},{2}\right)} \)
\( \displaystyle {T}{\left({0},{0},-{1}\right)}={\left({2},{1},{1}\right)} \)
verificare se è lineare; trovare autovalori; verificare se è iniettiva.

La matrice rispetto alla base canonica in partenza e in arrivo è

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&-{2}\\{1}&{0}&-{1}\\{0}&{1}&-{1}}\right)} \)

scusa ma perchè a me torna uguale alla tua ma trasposta?

[franced]

Sia \( \displaystyle {T}: \) \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) \( \displaystyle \rightarrow \) \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) tale che:
\( \displaystyle {T}{\left({1},{0},{0}\right)}={\left({1},{1},{0}\right)} \)
\( \displaystyle {T}{\left({0},{2},{0}\right)}={\left({2},{0},{2}\right)} \)
\( \displaystyle {T}{\left({0},{0},-{1}\right)}={\left({2},{1},{1}\right)} \)
verificare se è lineare; trovare autovalori; verificare se è iniettiva.

La matrice rispetto alla base canonica in partenza e in arrivo è

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&-{2}\\{1}&{0}&-{1}\\{0}&{1}&-{1}}\right)} \)

scusa ma perchè a me torna uguale alla tua ma trasposta?

Attenzione:
le colonne di una matrice ti danno le immagini dei vettori della base canonica.