matrice associata all'endomorfismo

[geometria66]

dati
\( \displaystyle {p}_{{1}}={{t}}^{{2}}+{3}{t},{p}_{{2}}={{t}}^{{-{{t}}}},{p}_{{3}}={{t}}^{{-{{2}}}}{t}+{2} \)

scrivere la matrice associata all'endomorfismo T tale che \( \displaystyle {T}{p}_{{1}}={{t}}^{{2}},{T}{p}_{{2}}={{t}}^{{2}}-{t}-{1},{T}{p}_{{3}}={2}{t}+{2} \) rispetto a una base a scelta

abbiamo

\( \displaystyle {T}{\left(\matrix{{0}\\{3}\\{1}}\right)} \) = \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}\\{0}\\{1}}\right)} \) \( \displaystyle {T}{\left(\matrix{{0}\\-{1}\\{1}}\right)} \)=\( \displaystyle {\left(\matrix{-{1}\\-{1}\\{1}}\right)} \) \( \displaystyle {T}{\left(\matrix{{2}\\-{2}\\{1}}\right)} \)=\( \displaystyle {\left(\matrix{{2}\\{2}\\{0}}\right)} \)

studio i tre sistemi

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{2}{z}={1}\\{3}{x}-{y}-{2}{z}={0}\\{x}+{y}+{z}={0}}\right.} \) \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}=\frac{{1}}{{8}}\\{y}=-\frac{{5}}{{8}}\\{z}=\frac{{1}}{{2}}}\right.} \)

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{2}{z}={0}\\{3}{x}-{y}-{2}{z}={1}\\{x}+{y}+{z}={0}}\right.} \) \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}=\frac{{1}}{{4}}\\{y}=-\frac{{1}}{{4}}\\{z}={0}}\right.} \)

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{z}={0}\\{3}{x}-{y}-{2}{z}={0}\\{x}+{y}+{z}={1}}\right.} \) \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}=\frac{{1}}{{4}}\\{y}=\frac{{3}}{{4}}\\{z}={0}}\right.} \)

ora mi ricavo la matrice

T\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}\\{0}\\{0}}\right)} \) = 1/8 \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}\\{0}\\{1}}\right)} \) -5/8 \( \displaystyle {\left(\matrix{-{1}\\-{1}\\{1}}\right)} \) +1/2\( \displaystyle {\left(\matrix{{2}\\{2}\\{0}}\right)} \)
faccio lo stesso con i valori x,y,z del secondo e terzo sistema e mi ricavo la matrice

\( \displaystyle {\left(\matrix{\frac{{13}}{{8}}&\frac{{13}}{{8}}&-\frac{{1}}{{2}}\\\frac{{1}}{{4}}&\frac{{1}}{{4}}&{0}\\-\frac{{3}}{{4}}&-\frac{{3}}{{4}}&{1}}\right)} \)

[geometria66]

ho visto un esercizio uguale che però per trovare la matrice associata si ferma alla risoluzione dei tre sistemi senza poi fare l'ultimo passaggio.

com'è corretto? grazie mille

[geometria66]

la matrice T è diagonalizzabile giusto?

perchè ho tre autovalori distinti e tutti e tre di molt. alg e geom. =1