matrice con base (I,A,A^2)

[TommyR22]

salve a tutti.
ho una matrice A=\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{1}}\right)} \)

e \( \displaystyle {V}={L}{\left({I},{A},{{A}}^{{2}}\right)}\subset{\mathbb{R}}^{{{3},{3}}} \). adesso mi serve sapere la matrice associata ad f:V-->V poichè:
\( \displaystyle {f{{\left({I}\right)}}}={A}-{I} \)
\( \displaystyle {f{{\left({A}\right)}}}=-{A} \)
\( \displaystyle {f{{\left({{A}}^{{2}}\right)}}}={{A}}^{{3}} \)

adesso prendendo come base \( \displaystyle {\left({I},{A},{{A}}^{{2}}\right)} \) come faccio a trovarmi A^3 come combinazione di \( \displaystyle {I},{A},{{A}}^{{2}} \) ?
(per i normali vettori praticamente mi trovo il generico vettore \( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)}={x}{v}_{{1}}+{y}{v}_{{2}}+{z}{v}_{{3}} \) dove \( \displaystyle {v}_{{1}},{v}_{{2}},{v}_{{3}} \) sono una base,ma quì come faccio?)

grazie.

[franced]

salve a tutti.
ho una matrice A=\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{1}}\right)} \)

e \( \displaystyle {V}={L}{\left({I},{A},{{A}}^{{2}}\right)}\subset{\mathbb{R}}^{{{3},{3}}} \). adesso mi serve sapere la matrice associata ad f:V-->V poichè:
\( \displaystyle {f{{\left({I}\right)}}}={A}-{I} \)
\( \displaystyle {f{{\left({A}\right)}}}=-{A} \)
\( \displaystyle {f{{\left({{A}}^{{2}}\right)}}}={{A}}^{{3}} \)

adesso prendendo come base \( \displaystyle {\left({I},{A},{{A}}^{{2}}\right)} \) come faccio a trovarmi A^3 come combinazione di \( \displaystyle {I},{A},{{A}}^{{2}} \) ?

Sfrutta il Teorema di Hamilton-Cayley:

il polinomio caratteristico di \( \displaystyle {A} \) è \( \displaystyle {{\left({1}-\lambda\right)}}^{{3}} \), quindi

\( \displaystyle {{\left({I}-{A}\right)}}^{{3}}={0} \)

da cui

\( \displaystyle {I}-{3}{A}+{3}{{A}}^{{2}}-{{A}}^{{3}}={0} \)

e quindi

\( \displaystyle {{A}}^{{3}}={I}-{3}{A}+{3}{{A}}^{{2}} \) .