Matrice , Formula canonica( o riduzione a gradini )

[n1korea]

Esercizio , si dica se esiste una matrice X \( \displaystyle \in \) M(2pedice) tale che \( \displaystyle {\left(\matrix{\lt{1}\gt&\lt{1}\gt\\\lt{1}\gt&\lt-{1}\gt}\right)} \) x X = \( \displaystyle {\left(\matrix{\lt{3}\gt&\lt{1}\gt\\\lt{1}\gt&\lt{0}\gt}\right)} \) ed



eventualmente se ne esiste una soltanto .

la soluzione che ho cercato di fare è a sistema pertrovare la X , ponendo ai 4 termini della matrice 2x2 A , B , C , D.

quindi X = \( \displaystyle {\left(\matrix{\lt{2}\gt&\lt{1}\gt\\\lt{0}\gt&\lt{1}\gt}\right)} \)

A + C = 3 , A - C = 1 , B-D = 1 , C - D = 0

ora ho problemi a fare la riduzione a gradini , per poi trovare la formula canonica e quindi provare a trovare le altre soluzioni? oppure sto proprio sbagliando metodo , e quindi non serve fare la formula canonica della X per trovare le altre possibil soluzioni del problema?? ..


è il secondo post che posto ... spero di non aver commesso errori. grazie .

[cirasa]

Innanzitutto, scrivi meglio le formule (segui link). E' una buona cosa che tu ci stia provando, ma puoi farlo meglio. Per esempio \( \displaystyle {X}\in{M}_{{2}} \) puoi scriverlo con i comandi $X in M_2$. Quando scrivi le matrici puoi evitare di scrivere \( \displaystyle \lt\gt \).

Venendo al tuo problema, la tua proposta di risoluzione è giusta e porterebbe al risultato. Ti faccio solo notare che hai fatto un piccolo errore di calcolo nella terza equazione che, se non sbaglio dovrebbe essere \( \displaystyle {B}+{D}={1} \).
Si tratta, dunque di risolvere il sistema
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{A}+{C}={3}\\{A}-{C}={1}\\{B}-{D}={1}\\{C}-{D}={0}}\right.} \)
Che tipo di problemi trovi nel fare la riduzione a gradini?
Vorrei farti notare che per questo tipo di sistemi puoi usare anche qualche altro metodo di risoluzione...per esempio puoi facilmente ricarvarti \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {C} \) dalle prime due equazioni, poi \( \displaystyle {D} \) dalla quarta e infine \( \displaystyle {B} \) dalla terza.
Naturalmente per sistemi un po' più grossi risolvere in questo modo è un po' più complicato...

Infine un'altra proposta di risoluzione.
Denotate con \( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{1}&{1}\\{1}&-{1}}\right)} \) e con \( \displaystyle {B}={\left(\matrix{{3}&{1}\\{1}&{0}}\right)} \), devi trovare la matrice \( \displaystyle {X} \) tale che \( \displaystyle {A}{X}={B} \).
Beh, ma \( \displaystyle {A} \) è invertibile (perchè?), quindi moltiplicando ambo i membri per \( \displaystyle {{A}}^{{-{1}}} \) si ottiene che \( \displaystyle {X}={{A}}^{{-{1}}}{B} \).
Quindi ti basta calcolare
\( \displaystyle {X}={{\left(\matrix{{1}&{1}\\{1}&-{1}}\right)}}^{{-{1}}}{\left(\matrix{{3}&{1}\\{1}&{0}}\right)} \).