Matrice ortogonale e teorema di Eulero

[Mirino06]

Ciao. Nel teorema di Eulero \( \displaystyle {\vec{{r}}} \) è la direnzione dell'asse ed \( \displaystyle {O} \) è la matrice ortogonale. Cosa significa \( \displaystyle {{r}}^{{i}}={O}_{{{i}{j}}}{{r}}^{{j}} \)?

[apatriarca]

Non sono certo di sapere a che teorema tu faccia riferimento. Eulero ha fatto un sacco di cose. In ogni caso, \(r^i\) indica la componente \(i\)-esima del vettore e \(O_{ij}\) è l'elemento in posizione \((i,j)\) nella matrice ortogonale. La formula fa uso della notazione di Einstein che complica inutilmente, a mio parere, una formula di una semplicità incredibile. Nella notazione di Einstein quando due indici uguali appaiono ripetuti in posizioni opposte (uno sopra e uno sotto) si ha una sommatoria su quell'indice. Per cui si ottiene che quella formula significa \( r^i = \sum_j O_{ij}\,r^j \) o, facendo uso della notazione matriciale, \(r = O\,r\). Sta insomma semplicemente dicendo che \(r\) è un autovettore con autovalore \(1\) della tua matrice ortogonale.

[Mirino06]

Mi riferivo al teorema di Eulero: ogni rotazione rigida con un punto fisso può ottenersi con una rotazione intorno ad un certo asse.

Sapevo che \( \displaystyle {r} \), se esisteva, era un autovettore all'autovalore \( \displaystyle {1} \), ma non ho capito come si fa a dedurlo da quella formula.

[apatriarca]

Quella è esattamente la definizione di autovettore con autovalore \(1\).. Non c'è proprio nulla da dedurre.