Matrice triangolarizzabile

[thedarkhero]

Una matrice è triangolarizzabile se e solo se tutti gli autovalori appartengono al corpo. Perchè?

[NightKnight]

E' un teorema! Una matrice è triangolarizzabile se e solo se il suo polinomio caratteristico ha tutte le radici nel campo.

[dissonance]

Si può dimostrare per induzione, magari scrivendo esplicitamente un algoritmo che trova una matrice triangolare simile. L'idea è:
sia \( \displaystyle {A} \) matrice \( \displaystyle {n}\times{n} \) a entrate in \( \displaystyle {K} \) con tutti gli autovalori \( \displaystyle \lambda_{{1}},\ldots,\lambda_{{n}}\in{K} \). Prendiamo il primo autovalore \( \displaystyle \lambda_{{1}} \), e un autovettore \( \displaystyle {v}_{{1}} \). Completiamo ad una base di \( \displaystyle {{K}}^{{n}} \) \( \displaystyle {v}_{{1}},{b}_{{2}},\ldots,{b}_{{n}} \), consideriamo la matrice \( \displaystyle {M} \) di passaggio da questa nuova base alla base canonica e calcoliamo \( \displaystyle {{M}}^{{-{1}}}{A}{M} \); risulterà una matrice del tipo

\( \displaystyle {\left(\matrix{\lambda_{{1}}&\star&\ldots&\star\\{0}&\star&\ldots&\star\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\{0}&\star&\ldots&\star}\right)} \)

simile ad \( \displaystyle {A} \) e in particolare con gli stessi autovalori. [EDIT: In rosso le modifiche.]Prenderemo in considerazione la sottomatrice ottenuta eliminando la prima riga e la prima colonna. Questa sottomatrice ha per autovalori \( \displaystyle \lambda_{{2}},\ldots,\lambda_{{n}} \). . Prendiamo un autovettore \( \displaystyle {v}'_{{2}} \) della sottomatrice relativo a \( \displaystyle \lambda_{{2}} \) e definiamo \( \displaystyle {v}_{{2}}={\left[\matrix{{0}\\{v}'_{{2}}}\right]} \). Completiamo \( \displaystyle {v}_{{1}},{v}_{{2}} \) ad una base di \( \displaystyle {{K}}^{{n}} \); dopo aver ripetuto gli stessi passaggi di sopra otterremo la matrice

\( \displaystyle {\left(\matrix{\lambda_{{1}}&\star&\star&\ldots&\star\\{0}&\lambda_{{2}}&\star&\ldots&\star\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\{0}&{0}&\ldots&\ldots&\star}\right)} \)

Dopo \( \displaystyle {n} \) passi (al più), avremo ottenuto una matrice triangolare superiore simile alla matrice data. L'essenziale, affinché l'algoritmo non si blocchi, è che si possa sempre prendere l'autovalore \( \displaystyle \lambda_{{{i}+{i}}} \) dopo aver processato l'autovalore \( \displaystyle \lambda_{{{i}}} \), fino al passo \( \displaystyle {n} \)-esimo.

[dissonance]

Un'aggiunta interessante: se il campo in questione è \( \displaystyle \mathbb{R} \) oppure \( \displaystyle \mathbb{C} \), si può applicare l'algoritmo di sopra usando solo basi ortonormali. Come risultato si ha che una matrice avente tutti gli autovalori nel campo di riferimento (tutte le matrici, nel caso complesso) si può portare in forma triangolare superiore per mezzo di matrici di passaggio ortogonali (unitarie nel caso complesso). In questo caso si parla di Forma canonica di Schur.