Matrici di passaggio

[mickey]

Salve!

Sono bloccato su questo passaggio di un problema:

Scrivere la matrice P di passaggio dalla base \( \displaystyle {F}{\left({\vec{{v}}}_{{1}},{\vec{{v}}}_{{2}},{\vec{{v}}}_{{3}}\right)} \) alla base canonica di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) con $\vec v_1 = (2/3,-1/3,2/3); \vec v_2 = (-sqrt(2)/2,0,sqrt(2)/2); \vec v_3 = (-sqrt(2)/6,-(2sqrt(2))/3,-sqrt(2)/6).

Ecco, ora io sinceramente non saprei assolutamente come andare avanti, perché non riesco a comprendere un metodo universale per fabbricare matrici di passaggio né in questo caso né da una generica matrice A a una B. E le spiegazioni dei libri non le comprendo, purtroppo.

[angus89]

Ti dico un modo pratico per farlo
Allora, i vettori colonna della matrice di cambiamento di base non sono altro che le coordinate della vecchia base rispetto alla nuova base

Se non ti è chiaro ti faccio qualche esempio, ma se fai qualche tentativo ti rendi conto di come funziona

[mickey]

ecco, questa è la definizione che trovo in un qualsiasi libro e non la capisco mai a fondo, e non c'è mai nessunissimo esempio, con numeri semplici!

[dissonance]

Devi risolvere dei sistemi lineari. Ti faccio un esempio scemo scemo: sia \( \displaystyle {V} \) lo spazio vettoriale \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \). Indico con \( \displaystyle {e}_{{1}}={\left({1},{1}\right)} \) e con \( \displaystyle {e}_{{2}}={\left({0},{1}\right)} \). Questa è chiaramente una base, che indichiamo con \( \displaystyle {B} \). Adesso prendiamo un'altra base \( \displaystyle {B}' \), costituita dai vettori \( \displaystyle {e}_{{1}}'={\left({0},{1}\right)},{e}_{{2}}'={\left({1},{1}\right)} \). Qual è la matrice \( \displaystyle {M} \) di passaggio da \( \displaystyle {B}' \) in \( \displaystyle {B} \)?

Ricordiamo che questa matrice deve "accettare in input" le coordinate dei vettori di \( \displaystyle {V} \) rispetto alla base \( \displaystyle {B}' \) e "restituire in output" le coordinate degli stessi rispetto alla base \( \displaystyle {B} \). Quindi intanto deve essere una matrice \( \displaystyle {2}\times{2} \), diciamo \( \displaystyle {M}={\left[\matrix{{m}_{{{1}&{1}}}&{m}_{{{1}&{2}}}\\{m}_{{{2}&{1}}}&{m}_{{{2}&{2}}}}\right]} \). Possiamo determinare le entrate \( \displaystyle {m}_{{{i},{j}}} \) "dando in pasto" ad \( \displaystyle {M} \) i vettori \( \displaystyle {e}_{{1}}',{e}_{{2}}' \), che in coordinate rispetto a \( \displaystyle {B}' \) sono \( \displaystyle {\left({1},{0}\right)},{\left({0},{1}\right)} \) rispettivamente.

Infatti \( \displaystyle {M}\cdot{\left[\matrix{{1}\\{0}}\right]}={\left[\matrix{{m}_{{{1}&{1}}}\\{m}_{{{2}&{1}}}}\right]} \), e per quanto detto sopra \( \displaystyle {\left[\matrix{{m}_{{{1}&{1}}}\\{m}_{{{2}&{1}}}}\right]} \) deve essere il vettore delle coordinate di \( \displaystyle {e}_{{1}}' \) rispetto alla base \( \displaystyle {B} \). Determiniamolo imponendo questa condizione:
\( \displaystyle {e}_{{1}}'={m}_{{{1},{1}}}{e}_{{1}}+{m}_{{{2},{1}}}{e}_{{2}} \) ovvero, esplicitamente, \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{0}={m}_{{{1}&{1}}}\cdot{1}+{m}_{{{2}&{1}}}\cdot{0}\\{1}={m}_{{{1}&{1}}}\cdot{1}+{m}_{{{2}&{1}}}\cdot{1}}\right.} \).
Risolvendo otteniamo \( \displaystyle {m}_{{{1},{1}}}={0},{m}_{{{2},{1}}}={1} \).

Analogamente puoi calcolare l'altra colonna, che ti anticipo essere \( \displaystyle {m}_{{{1},{2}}}={1},{m}_{{{2},{2}}}={0} \). Spero di essere stato chiaro.

[angus89]

Faccio il più banale degli esempi

Prendi \( \displaystyle {{R}}^{{3}} \)
Considera la base canonica
\( \displaystyle {B}={\left\lbrace{\left({1},{0},{0}\right)},{\left({0},{1},{0}\right)},{\left({0},{0},{1}\right)}\right\rbrace} \)

Se vuoi la matrice di cambimento di base in \( \displaystyle {B}' \)
\( \displaystyle {B}={\left\lbrace{\left({0},{1},{0}\right)},{\left({0},{0},{1}\right)},{\left({1},{0},{0}\right)}\right\rbrace} \)
(ho semplicemente permutato un pò gli elementi)

Allora prendiamo il primo vettore della vecchia base \( \displaystyle {\left({1},{0},{0}\right)} \)
questo non è altri che il terzo vettore della nuova base quindi le sue coordinate rispetto alla nuova base sono
\( \displaystyle {\left({0},{0},{1}\right)} \) (ovvero il terzo vettore della nuova base)

Quindi hai la prima colonna del bambiamento di base

Fai lo stesso discorso per tutti i vettori e ottieni
\( \displaystyle {\left(\matrix{{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}}\right)} \)

Che è la tua matrice di cambiamento di base

[mickey]

Sì, ok, ma il punto è che io non so come determinare le nuove coordinate in funzione della vecchia base!

[dissonance]

Eh ma te l'ho scritto, per la precisione in questo stralcio:

...
Infatti \( \displaystyle {M}\cdot{\left[\matrix{{1}\\{0}}\right]}={\left[\matrix{{m}_{{{1}&{1}}}\\{m}_{{{2}&{1}}}}\right]} \), e per quanto detto sopra \( \displaystyle {\left[\matrix{{m}_{{{1}&{1}}}\\{m}_{{{2}&{1}}}}\right]} \) deve essere il vettore delle coordinate di \( \displaystyle {e}_{{1}}' \) rispetto alla base \( \displaystyle {B} \). Determiniamolo imponendo questa condizione:
\( \displaystyle {e}_{{1}}'={m}_{{{1},{1}}}{e}_{{1}}+{m}_{{{2},{1}}}{e}_{{2}} \) ovvero, esplicitamente, \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{0}={m}_{{{1}&{1}}}\cdot{1}+{m}_{{{2}&{1}}}\cdot{0}\\{1}={m}_{{{1}&{1}}}\cdot{1}+{m}_{{{2}&{1}}}\cdot{1}}\right.} \).
...

Si tratta sempre di risolvere un sistema di equazioni lineari.

[mickey]

Intendevo in questo passaggio: "dando in pasto" ad \( \displaystyle {M} \) i vettori \( \displaystyle {e}_{{1}}',{e}_{{2}}' \), che in coordinate rispetto a \( \displaystyle {B}' \) sono \( \displaystyle {\left({1},{0}\right)},{\left({0},{1}\right)} \) rispettivamente.

[dissonance]

Provo a spiegarmi passo-passo, vediamo se ci riesco.

Se un vettore \( \displaystyle {v}\in{V} \) si può scrivere come \( \displaystyle {v}=\lambda{e}_{{1}}'+\mu{e}_{{2}}' \), allora \( \displaystyle \lambda \) e \( \displaystyle \mu \) sono univocamente individuati e la coppia \( \displaystyle {\left(\lambda,\mu\right)} \) (spesso messa in colonna per compatibilità col prodotto di matrici) viene detta di coordinate di \( \displaystyle {v} \) rispetto a \( \displaystyle {B}' \) (*). Visto che possiamo scrivere \( \displaystyle {e}_{{1}}'={1}\cdot{e}_{{1}}'+{0}\cdot{e}_{{2}}',{e}_{{2}}'={0}\cdot{e}_{{1}}'+{1}\cdot{e}_{{2}}' \), segue che le coordinate di \( \displaystyle {e}_{{1}}'.{e}_{{2}}' \) rispetto a \( \displaystyle {B}' \) sono \( \displaystyle {\left({1},{0}\right)},{\left({0},{1}\right)} \). Ci siamo, fin qui?

(*) Questo linguaggio non è universale. Magari l'autore che stai leggendo usa dei termini diversi.

[mickey]

Ok, ottimo, quindi devo trovare esclusivamente gli scalari che moltiplicati per i rispettivi vettori della base stessa generano quei vettori..