Matrici rispetto alla basa canonica del dominio e codominio

[Batted]

Ciao a tutti, sono nuovo in questo forum. Solitamente sono molto bravo in matematica (appena preso un 30L in analisi II), ma purtroppo non riesco a digerire l'algebra lineare.
Ecco le domande:
Sia \(f:R^3->R^3\) la funzione data da \(f(x,y,z)=(2x+y-3z,-x+2z,x-2y-4z)\).
a) Scirvi la matrice A di f rispetto alle basi canoniche del dominio e codominio.
Penso di averlo risolto, ho posto prima \(f(1,0,0)=(2,-1,1), f(0,1,0)=(1,0,-2), f(0,0,1)=(-3,2-4)\) quindi A è la matrice con questi vettori messi in colonna no?
b)se ho fatto giusto a so farlo non mi occorre aiuto.
c)Si scriva la amtrice B di f rispetto alla base canonica del dominio e alla base \(w1=(0,-1,1), w2=(1,0,1), w3=(1,-1,0)\) del codominio. come si fa?

L'atra domanda è:
si consideri la matrice A \(\begin{vmatrix} 8 & -1 & 1 \\ 0 & t & 1 \\ -2 & 2 & 6 \end{vmatrix}\). (sono le 3 righe di A separate da /)
a) si determini t in modo che il vetterore v=(1,1,-1) sia autovettore di A. Ho pensato basta moltiplicare A per v e verificare che sia uguale a 0, ma si nota subito che il sitema assocciato è irrisolvibile perché viene 8=0 e -6=0 nella 1° e 3° equazione. Aiuti?

[vittorino70]

1) Occorre esprimere le immagini della base canonica del dominio ( che tu hai già) in funzione dei vettori w della base del codominio.Un rapido calcolo porta a questo risultato:

\(\displaystyle (2,-1,1) =0 \cdot (0,-1,1)+1\cdot(1,0,1)+1\cdot(1,-1,0)\)
\(\displaystyle (1,0,-2) =-\frac{3}{2}\cdot (0,-1,1)-\frac{1}{2}\cdot(1,0,1)+\frac{3}{2}\cdot(1,-1,0)\)
\(\displaystyle (-3,2,-4) =-\frac{3}{2}\cdot (0,-1,1)-\frac{5}{2}\cdot(1,0,1)-\frac{1}{2}\cdot(1,-1,0)\)

Le colonne della matrice richiesta sono i coefficienti delle tre combinazioni e quindi la matrice è:

\(\displaystyle \begin{vmatrix} 0&-\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\\ 1 &-\frac{1}{2}&-\frac{5}{2}\\ 1 &+\frac{3}{2} &-\frac{1}{2}\end{vmatrix}\)

2) L'equazione giusta è : \(\displaystyle Av=\lambda v \) ovvero \(\displaystyle (A-\lambda I)v=0 \).Facendo i calcoli risulta:

\(\displaystyle \begin{vmatrix}8-\lambda&-1&1\\0&t-\lambda&1\\-2&2&6-\lambda \end{vmatrix} \cdot\begin{vmatrix}1\\1\\-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0\\0\\0\end{vmatrix}\)

Da cui si ha il sistema :

\(\displaystyle \begin{cases}6-\lambda=0\\t-1-\lambda=0\\-6+\lambda=0 \end{cases}\)

Si ricava che :

\(\displaystyle t=7,\lambda=6 \text{ (autovalore corrispondente all'autovettore dato) } \)

[Batted]

Grazie, il secondo punto l'ho capito. Per il primo non capisco il tuo procedimento. Ho usato le matrici di cambiamento di base:
A= matrice del punto a.
C=matrice che ottengo mettendo in colonna i vettori w1, w2 e w3.
Poi ho pensato che B=AC^-1 e non ottengo la tua stessa matrice...

[vittorino70]

La formula esatta per il passaggio di base da B a B' è questa:
(1) \(\displaystyle A_{B,B'} = I^{-1}_{B',C'} \cdot A_{C,C'} \cdot I_{B,C} \)
dove:
a)\(\displaystyle A_{C,C'} \) ha per colonne le immagini dei vettori della base canonica, cioé
f(e_1), . . . , f(e_n) espressi nelle coordinate delle basi canoniche;

b)\(\displaystyle I_{B',C'} \) ha per colonne i vettori della base B′ espressi nelle coordinate
della base canonica C′;

c)\(\displaystyle I_{B,C} \) ha per colonne i vettori della base B espressi nelle coordinate della
base canonica C;

Tieni presente che nel nostro caso B,C,C' coincidono.Per questo motivo la formula si semplifica e diventa:
\(\displaystyle A_{B,B'} = I^{-1}_{B',C'} \cdot A_{C,C'} \)
che è come quella che hai postato tu.Solo che hai invertito le matrici ( deve essere \(\displaystyle C^{-1}A \) ) ed il prodotto
tra matrici in generale non è commutativo. Di solito non applico la formula (1) per la presenza della matrice inversa che ,nel caso di matrici grandi,dà notevoli grattacapi ( almeno a me).Tuttavia ,per eliminare ogni dubbio,mi sono fatti i calcoli con la formula e mi trovo la medesima ,identica matrice che ti ho postato.