matrici simili e polinomi caratteristici

[angus89]

Costruire due matrici \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {B} \) reali di ordine \( \displaystyle {4} \) aventi entrambe polinomio caratteristico \( \displaystyle {{x}}^{{4}}+{2}{{x}}^{{2}}+{1} \)

Allora...
Inanzitutto mostriamo che ne esiste almeno una

\( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{0}&-{1}&{0}&{0}\\{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&-{1}\\{0}&{0}&{1}&{0}}\right)} \)

Ok ora osserviamo che due matrici son simili se e soltanto se hanno la stessa forma canonica di jordan.
Quindi possiamo considerare le due matrici con polinomi minimi differenti.

Inanzitutto scomponiamo il polinomio caratteristico.
\( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={{\left({x}-{i}\right)}}^{{2}}{{\left({x}+{i}\right)}}^{{2}} \)

ora è sufficiente che le due matrici abbiano due differenti polinomi minimi

il polinomio minimo di \( \displaystyle {A} \)
\( \displaystyle {m}{\left({x}\right)}={\left({x}-{i}\right)}{{\left({x}+{i}\right)}}^{{2}} \)

il polinomio minimo di \( \displaystyle {B} \)
\( \displaystyle {n}{\left({x}\right)}={{\left({x}-{i}\right)}}^{{2}}{{\left({x}+{i}\right)}}^{{2}} \)

Quindi abbiamo
\( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{i}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{i}&{0}&{0}\\{0}&{0}&-{i}&{0}\\{0}&{0}&{1}&-{i}}\right)} \)
\( \displaystyle {B}={\left(\matrix{{i}&{0}&{0}&{0}\\{1}&{i}&{0}&{0}\\{0}&{0}&-{i}&{0}\\{0}&{0}&{1}&-{i}}\right)} \)

Ok ora come faccio a trovare una base reale che mi dia matrici a coefficienti reali?

[franced]

Costruire due matrici \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {B} \) reali di ordine \( \displaystyle {4} \) aventi entrambe polinomio caratteristico \( \displaystyle {{x}}^{{4}}+{2}{{x}}^{{2}}+{1} \)

Allora...
Inanzitutto mostriamo che ne esiste almeno una

\( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{0}&-{1}&{0}&{0}\\{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&-{1}\\{0}&{0}&{1}&{0}}\right)} \)

Ok, a questo punto puoi prendere la seguente matrice:

\( \displaystyle {B}={\left(\matrix{{0}&-{1}&{k}&{0}\\{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&-{1}\\{0}&{0}&{1}&{0}}\right)} \)

con \( \displaystyle {k}\ne{0} \).

Osserva che \( \displaystyle {B} \) è triangolare a blocchi e puoi divertirti a "riempire" la parte "nord-est"
(cioè la sottomatrice 2x2 in alto a sinistra) di \( \displaystyle {B} \) come vuoi,
tanto il polinomio caratteristico non cambia!

Ad esempio:

\( \displaystyle {B}'={\left(\matrix{{0}&-{1}&{6}&-{45}\\{1}&{0}&-{4}&-{87}\\{0}&{0}&{0}&-{1}\\{0}&{0}&{1}&{0}}\right)} \)

il polinomio è sempre

\( \displaystyle {p}{\left(\lambda\right)}={\lambda}^{{4}}+{2}{\lambda}^{{2}}+{1} \) .

[angus89]

ok...
Hoanno polinomio minimo differenti quindi effettivamente funziona
Ma non ci avrei pensato subito dato che costruire matrici con quel polinomio caratteristico è relativamente facile, ma fare in modo che non siano simili non è altrettanto facile.
grazie ancora!!!

[franced]

Costruire due matrici \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {B} \) reali di ordine \( \displaystyle {4} \) aventi entrambe polinomio caratteristico \( \displaystyle {{x}}^{{4}}+{2}{{x}}^{{2}}+{1} \)

Un altro modo di ragionare è il seguente:

per \( \displaystyle {A} \) possiamo scegliere la matrice

\( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{0}&-{1}&{0}&{0}\\{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&-{1}\\{0}&{0}&{1}&{0}}\right)} \)

mentre per \( \displaystyle {B} \) possiamo scegliere

\( \displaystyle {B}={M}{A}{{M}}^{{-{1}}} \) con \( \displaystyle {M} \) 4x4 invertibile.

Il testo ti chiede due matrici aventi lo stesso polinomio caratteristico.

Quelle matrici \( \displaystyle {B} \) che ti ho scritto nel messaggio precedente non sono simili ad \( \displaystyle {A} \),
mentre quelle del tipo \( \displaystyle {M}{A}{{M}}^{{-{1}}} \) lo sono.

In ogni caso il polinomio caratteristico è sempre quello...