mcd in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{i}\sqrt{{{5}}}\right]} \)

[ea2]

ciao come mai \( \displaystyle {m}{c}{d}{\left({9},{3}{\left({2}+{i}\sqrt{{{5}}}\right)}\right)} \) non esiste? io ho fatto cosi per cominciare: ho preso 9 e ho visto che ha norma 81 quindi i suoi fattori devono avere norma 3 il che non è possibile perchè di norma 3 in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{i}\sqrt{{{5}}}\right]} \) non ce ne sono. lo stesso vale per \( \displaystyle {3}{\left({2}+{i}\sqrt{{{5}}}\right)} \) ma come posso concludere?

dovrei poi dimostrare che l'ideale generato da (2) in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{i}\sqrt{{{8}}}\right]} \) non è massimale. pensavo di dimostrare che non era irriducibile ma non trovo i fattori.

qualcuno ci capisce qualcosa di queste cose? sto sbagliando? grazie mille!

[mod="Martino"]Ho reso un po' più leggibile il testo.[/mod]

[Martino]

Ciao!

Osserva che

\( \displaystyle {N}{\left({3}\right)}={9} \)
\( \displaystyle {N}{\left({2}+{i}\sqrt{{{5}}}\right)}={9} \)
\( \displaystyle {N}{\left({2}-{i}\sqrt{{{5}}}\right)}={9} \)

Questo ti dice che gli elementi \( \displaystyle {3} \), \( \displaystyle {2}+{i}\sqrt{{{5}}} \), \( \displaystyle {2}-{i}\sqrt{{{5}}} \) sono irriducibili (perché come hai giustamente osservato in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{i}\sqrt{{{5}}}\right]} \) non ci sono elementi di norma \( \displaystyle {3} \)). Ora cosa puoi dire sui divisori comuni di \( \displaystyle {9} \) e \( \displaystyle {3}{\left({2}+{i}\sqrt{{{5}}}\right)} \) ?
Per mostrare che il mcd non esiste è sufficiente trovare due divisori comuni irriducibili e non associati.

Quanto all'altro problema: osserva che per mostrare che dato un intero \( \displaystyle {n} \) l'ideale \( \displaystyle {\left({n}\right)} \) non è massimale in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[\sqrt{{{d}}}\right]} \) basta mostrare che il quoziente \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[\sqrt{{{d}}}\right]}\//{\left({n}\right)} \) non è un campo. Ma \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[\sqrt{{{d}}}\right]}=\mathbb{Z}{\left[{X}\right]}\//{\left({{X}}^{{2}}-{d}\right)} \) e quindi \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[\sqrt{{{d}}}\right]}\//{\left({n}\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z}{\left[{X}\right]}\//{\left({n},{{X}}^{{2}}-{d}\right)}\stackrel{\sim}{=}{\left(\mathbb{Z}\//{n}\mathbb{Z}\right)}{\left[{X}\right]}\//{\left({{X}}^{{2}}-{d}\right)} \). Perché questo quoziente sia un campo bisogna che \( \displaystyle {n} \) sia un primo e che \( \displaystyle {{X}}^{{2}}-{d} \) sia irriducibile modulo \( \displaystyle {n} \). Basta applicare questo fatto al tuo caso.

Es. Osserva che pur essendo \( \displaystyle {3} \) un elemento irriducibile in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{i}\sqrt{{{5}}}\right]} \), l'ideale \( \displaystyle {\left({3}\right)} \) non è massimale perché modulo \( \displaystyle {3} \) hai \( \displaystyle {{X}}^{{2}}+{5}={\left({X}-{1}\right)}{\left({X}-{2}\right)} \).
Es. Per esempio invece \( \displaystyle {\left({3}\right)} \) è massimale in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{i}\right]} \) perché \( \displaystyle {{X}}^{{2}}+{1} \) è irriducibile modulo \( \displaystyle {3} \).

P.S.: perché le formule vengano bene metti un $ prima della formula e un $ dopo. Quindi per esempio non scrivere "Z[$i sqrt(5)$]" ma scrivi "$Z[i sqrt(5)]$".

[ea2]

grazie scusa per le formule scritte male mi sembrava di aver controllato. cmq ho capito quello che dici ti faccio una piccola domanda. come si dimostra che l'ideale \( \displaystyle {I}={\left\lbrace{a}+\sqrt{{{7}}}{b}\right.} \) tc \( \displaystyle {a}={b}{\left(\text{mod}{6}\right)}\rbrace \) in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[\sqrt{{{7}}}\right]} \) è principale? io ho fatto cosi:
se \( \displaystyle {a}={b}{\left(\text{mod}{6}\right)} \) allora ci sono \( \displaystyle {k},{h}\in\mathbb{Z} \) tc \( \displaystyle {a}={6}{k}+{r}{1} \) e \( \displaystyle {b}={6}{h}+{r}{2} \) con \( \displaystyle {r}{1}={r}{2} \) quindi \( \displaystyle {I}={\left\lbrace{6}{k}+{r}{1}+\sqrt{{{7}}}{\left({6}{h}+{r}{1}\right)}\right\rbrace}={\left\lbrace{6}{\left({k}+{h}\sqrt{{{7}}}\right)}+{r}{1}{\left({1}+\sqrt{{{7}}}\right)}\right\rbrace} \) fin qui mi sembra tutto a posto ma ora non capisco più bene cosa sto dicendo.. cioè mi verrebbe da dire che il generatore è \( \displaystyle {1}+\sqrt{{{7}}} \) ma è sensato?

[Martino]

Se vuoi dimostrare che \( \displaystyle {I}={\left({1}+\sqrt{{{7}}}\right)} \) prova a dimostrare che ogni elemento di \( \displaystyle {I} \) si può scrivere nella forma \( \displaystyle {\left({1}+\sqrt{{{7}}}\right)}{\left({x}+{y}\sqrt{{{7}}}\right)} \).