MCD tra due polinomi!

[maurer]

No, il problema non era quello. Il problema è che in una definizione non puoi usare termini vaghi come "espressione". Nella fondazione attuale della matematica gli unici termini indefiniti accettati sono "insieme", "appartenenza" e basta (credo, ma non sono sicurissimo, se qualcuno può correggermi lo faccia!). Quindi in una definizione puoi usare solo quelli come termini non definiti. E questo non è un problema di natura secondaria, ma è fondamentale che un matematico si arrabbi se questo precetto non viene rispettato!

Ma poi, tu sei iscritto a Matematica, Informatica, Fisica o qualcos'altro, se posso chiedere?

[GundamRX91]

Non so che dire, il capitolo relativo ai polinomi inizia proprio con quella definizione (vado a memoria,ma sono quasi sicuro). Sono iscritto a Matematica e questa parte l'ho studiata in Algebra 1.

[maurer]

Boh, allora è strano... In ogni caso purtroppo il mondo è pieno di docenti universitari che sono convinti che a non chiamare le cose con il loro nome e a mascherarle un po' serva a semplificare la vita degli allievi. Il risultato è che gli allievi superficiali a cui interessa solo prendere un bel voto all'esame fanno davvero meno fatica, perché quelle definizioni sono più facili da imparare a memoria, mentre gli studenti che vogliono capire le cose perché, volendo fare ricerca, sanno che un giorno torneranno utili nella loro vita, faticano il doppio (non leggerne un'accusa nei tuoi confronti, sto parlando assolutamente in generale!).

Piccola parentesi di sfogo personale: Torino è piena di docenti simili, fortunatamente sono riuscito a scappare! Per esempio ho un certo ricordo di un tipo che definiva le forme differenziali come "simboli" con "certe proprietà". Ora, con una definizione simile sicuramente sarai capace a fare i conti, ma ciò non toglie che una r-forma differenziale è una sezione della potenza esterna di grado r del fibrato cotangente di una varietà. Questa è la definizione giusta! Sarà doloroso e lungo capire e prendere dimestichezza con ogni singola parolina che compare in questa definizione, ma se non facciamo questo lavoro quando siamo studenti, nel momento in cui diventeremo ricercatori ne soffriremo le conseguenze!

[Martino]

Non so che dire, il capitolo relativo ai polinomi inizia proprio con quella definizione (vado a memoria,ma sono quasi sicuro). Sono iscritto a Matematica e questa parte l'ho studiata in Algebra 1.

Ci credo, per dirti io ho letto per la prima volta la definizione "giusta" di polinomio al terzo anno. La politica in questi casi è "non spaventare troppo" gli studenti del primo anno.

Ti riporto la pagina che mi ha illuminato quando ero al terzo anno (la trovi nelle note del corso "curve algebriche piane" nel sito di Maurizio Cailotto):



Come vedi quelli che di solito vengono spacciati per "polinomi" (le somme formali di potenze di una fantomatica "indeterminata") non sono altro che le istanze della "notazione standard". In altre parole, si spacciano notazioni per definizioni! E lo si fa spesso, sempre per "non spaventare" gli studenti. Bisogna stare attenti

[maurer]

... Politica che non condivido per nulla... può poi alla fine essere interessante notare che alla fantomatica X si può sostituire un numero concreto, purché questo sia trascendente sul campo di base da cui siamo partiti... Ma questo è un gioco, ed è più che altro utile fare il contrario, ossia togliere il numero e metterci la X...

Ehm... forse ci siamo lasciati prendere la mano... L'autore del thread Vito L è ancora presente? Ha seguito il nostri battibecchi? Soprattutto, ha capito la differenza tra funzioni polinomiali e polinomi?

Propongo un esercizio a chi lo voglia risolvere:

Esercizio. Sia \( \displaystyle R \) un dominio integro. Mostrare che esiste una biezione tra \( \displaystyle R[X] \) e funzioni polinomiali \( \displaystyle f \colon R \to R \) se e solo se \( \displaystyle R \) ha cardinalità infinita.