MCD tra due polinomi!

[Vito L]

Salve a tutti ragazzi! vorrei sapere se è giusto il procedimento di questo esercizio..
Allora,

Trovare il MCD tra i polinomi \( \displaystyle {{x}}^{{6}}-{1}\in\mathbb{Z}_{{7}}{\left[{x}\right]} \) e \( \displaystyle {{x}}^{{42}}+{1}\in\mathbb{Z}_{{7}}{\left[{x}\right]} \) allora io ho provato ad usare Fermat sul secondo polinomio in questo modo \( \displaystyle {{x}}^{{42}}+{1}={{\left({{x}}^{{7}}\right)}}^{{6}}+{1}\equiv{{x}}^{{6}}+{1}\in\mathbb{Z}_{{7}}{\left[{x}\right]} \)
Poi ho provveduto ad usare l'algoritmo delle divisioni successive in questo modo \( \displaystyle {\left({{x}}^{{6}}-{1}\right)}={{x}}^{{6}}+{6}={\left({{x}}^{{6}}+{1}\right)}\cdot{1}+{5}\in\mathbb{Z}_{{7}}{\left[{x}\right]} \) poi
\( \displaystyle {\left({{x}}^{{6}}+{1}\right)}={5}\cdot{3}+{1} \) e infine \( \displaystyle {5}={1}\cdot{5}+{0}\in\mathbb{Z}_{{7}}{\left[{x}\right]} \) quindi l'ultimo resto non nullo dell'algoritmo è proprio \( \displaystyle {1}\text{mod}{7} \) e allora i due polinomi sono coprimi!!

Vi sembra giusto?

Grazie mille

Vito L

[maurer]

Eh no, no, no, no, no, no, no, NO! Qual'è la differenza tra funzioni polinomiali e polinomi????

Piuttosto, visto che sei in caratteristica 7, \( \displaystyle x^{42} + 1 = (x^6 + 1)^7 \) , questo è corretto. Non dirò nient'altro fintanto che non avrai risposto alla mia domanda e non avrai chiarito l'errore!

[Vito L]

Eh no, no, no, no, no, no, no, NO! Qual'è la differenza tra funzioni polinomiali e polinomi????

Piuttosto, visto che sei in caratteristica 7, \( \displaystyle x^{42} + 1 = (x^6 + 1)^7 \) , questo è corretto. Non dirò nient'altro fintanto che non avrai risposto alla mia domanda e non avrai chiarito l'errore!

Grazie della risposta maurer..credo che il problema cmq sia che nel caso della funzione polinomiale \( \displaystyle {X} \) diviene solo un simbolo ed è usato come una specie di segna posto a differenza del polinomio! per quello forse non posso applicare ad \( \displaystyle {X} \) ne Eulero ne Fermat o almeno devo applicarli con degli opportuni accorgimenti...giusto?

[maurer]

No, è esattamente il contrario. Una funzione polinomiale è, come suggerisce il nome, una funzione, quindi ha un dominio, un codominio e lei è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di dominio e codominio. Due funzioni sono uguali, per definizione, se coincidono su tutti gli elementi del dominio, quindi in questo caso puoi dire che se \( \displaystyle f \colon \mathbb Z / 7 \mathbb Z \to \mathbb Z / 7 \mathbb Z \) è definita da \( \displaystyle f(x) := x^{42} + 1 \) e \( \displaystyle g \colon \mathbb Z / 7 \mathbb Z \to \mathbb Z / 7 \mathbb Z \) è definita da \( \displaystyle g(x) = x^7 + 1 \) , allora \( \displaystyle f(x) = g(x) \) per ogni \( \displaystyle x \in \mathbb Z / 7 \mathbb Z \) e quindi, per definizione, \( \displaystyle f = g \) .

Un polinomio invece è, per dirla con paroloni, l'algebra libera su \( \displaystyle \mathbb Z / 7 \mathbb Z \) generata da un solo elemento (la qual cosa non deve spaventarti, non perderci troppo tempo sopra adesso, capirai se e quando verrà il momento). Concretamente, com'è definito \( \displaystyle R[X] \) dove \( \displaystyle R \) è un anello (commutativo) qualsiasi? Per definizione, \( \displaystyle \bigoplus_{i = 0}^{+\infty} R_i \) dove ogni \( \displaystyle R_i \) è isomorfo a \( \displaystyle R \) . Per dirla davvero molto male, un polinomio è una stringa \( \displaystyle (a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots) \) dove \( \displaystyle a_m = 0 \) per ogni \( \displaystyle m \) sufficientemente grande. Si identifica formalmente \( \displaystyle (1,0,\ldots,0,\ldots) \) con \( \displaystyle 1 \) , \( \displaystyle (0,1,0,\ldots,0,\ldots) \) con \( \displaystyle X \) , \( \displaystyle (0,0,1,0,\ldots,0,\ldots) \) con \( \displaystyle X^2 \) eccetera. Qualunque altra definizione non equivalente a questa è da ritenersi sbagliata e ti invito caldamente a pensare ai polinomi in questi termini d'ora in poi. Quando avrai preso dimestichezza con questo modo di pensare tutto sarà più semplice.

In conclusione, come conseguenza della definizione due polinomi \( \displaystyle a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n \) e \( \displaystyle b_0 + b_1 X + \ldots + b_m X^m \) sono uguali se e solo se \( \displaystyle m = n \) e \( \displaystyle a_i = b_i \) per ogni \( \displaystyle i = 0, 1, \ldots, n \) . Ora, vedi che \( \displaystyle X^7 + 1 \ne X^{42} + 1 \) ?? Non hanno lo stesso grado, quindi non possono assolutamente essere uguali!

Infine, come consiglio, ti suggerisco di adottare le mie notazioni (ovviamente qualunque altra scelta che non crei ambiguità va benissimo): quando penso a \( \displaystyle f \) come ad un polinomio scrivo \( \displaystyle f(X) \) con la X maiuscola e quando la penso come una funzione scrivo \( \displaystyle f(x) \) con la x minuscola. A dire il vero, quando si parla di funzioni si deve omettere l'argomento, a meno che non si voglia parlare di quella funzione valutata in quel punto. Alcuni (tra cui non io) scrivono \( \displaystyle f(\cdot) \) o \( \displaystyle f(-) \) per denotare la funzione in sé.

[GundamRX91]

@maurer: molto interessante la definizione di polinomio che dai. Premetto che ho solo un'infarinatura dell'argomento, ma eventualmente dove la potrei studiare?

[Martino]

Della definizione di polinomio si è già parlato molto sul forum, per esempio qui, qui (molto tempo fa) e volendo qui (ho messo quello che riesco a ricordare, magari c'è pure di meglio). La confusione nasce dal fatto che i polinomi sono oggetti talmente intuitivi che non vengono "mai" definiti (nel senso che fino a un certo punto la loro definizione è considerata una curiosità). Viene solo calato dal cielo il cosiddetto "principio di identità dei polinomi", senza mai dire che più che un principio è la definizione stessa di polinomio.

[GundamRX91]

Ma, io ho come definizione di polinomio quella, credo, classica, cioè un polinomio \( \displaystyle {p}{\left({x}\right)} \) è un qualunque espressione del tipo \( \displaystyle {p}_{{0}}+{p}_{{1}}{x}+{p}_{{2}}{{x}}^{{2}}+_{\ldots}+{p}_{{m}}{{x}}^{{n}}={\sum_{{{i}={0}}}^{{n}}}{p}_{{i}}{{x}}^{{i}} \) con \( \displaystyle {p}_{{i}}\in\mathbb{C},{p}_{{i}}\ne{0} \), a cui si può, passatemi il termine, associare una successione a supporto finito \( \displaystyle {a}_{{0}},{a}_{{1}},{a}_{{2}},{a}_{{3}},_{\ldots},{a}_{{n}},{0},{0},{0},_{\ldots} \). Invece la definizione data da maurer ancora non l'avevo letta da nessuna parte (sempre che non sia equivalente ).

[Martino]

Ma, io ho come definizione di polinomio quella, credo, classica, cioè un polinomio \( \displaystyle {p}{\left({x}\right)} \) è un qualunque espressione del tipo \( \displaystyle {p}_{{0}}+{p}_{{1}}{x}+{p}_{{2}}{{x}}^{{2}}+_{\ldots}+{p}_{{m}}{{x}}^{{n}}={\sum_{{{i}={0}}}^{{n}}}{p}_{{i}}{{x}}^{{i}} \) con \( \displaystyle {p}_{{i}}\in\mathbb{C},{p}_{{i}}\ne{0} \)

Questa non è una definizione finché non chiarisci cosa intendi con "espressione".

[maurer]

E' chiaro che vuole attribuire un significato formale a quella scrittura, definendo i polinomi come successioni a supporto compatto, anche se non l'ha detto bene (e poi ovviamente bisogna dire chi è il prodotto, chi è la somma ecc.). In questo caso, è equivalente alla mia. Solo che la definizione che ho dato io ha il pregio di essere esclusivamente algebrica e di usare solo la nozione di coprodotto nella categoria degli \( \displaystyle \mathbb Z \) -moduli, il che porta poi a spiegare perché ho parlato di \( \displaystyle R[X] \) come di algebra universale generata da un elemento su \( \displaystyle R \) , ma qui ci addentriamo in territorio categoriale e quindi lascio cadere il discorso perché troppo OT. In ogni caso, qualunque testo di algebra serio credo usi quella definizione... Tipo, posso suggerire il Dummit & Foote, al solito...

[GundamRX91]

Forse ho dimenticato di specificare che un polinomio \( \displaystyle {p}{\left({x}\right)} \) ad una indeterminata e a coefficienti in un campo \( \displaystyle \mathbb{C} \).... Nella mia dispensa viene presentato in questo modo, poi si passa alla definizione del relativo anello.

Edit: non avevo visto la risposta di maurer. Si in effetti viene fatto riferimento alle successioni a supporto finito, però dopo aver definito l'insieme dei polinomi \( \displaystyle {K}{\left[{x}\right]} \) e l'insieme delle successioni a supporto finito \( \displaystyle {{K}}^{{{\left(\mathbb{N}\right)}}} \),ma prima delle relative operazioni di somma e prodotti (necessarie per definire i relativi anelli).