meccanica hamiltoniana

[*brssfn76]

vi posto un mio dubbio che ho lasciato sul forum università ma che nn ha avuto risposte......

Ho 2 sistemi di coordinate fibrate che sono legate da una trasformazione.......

Devo ricavare l'integrale completo di HJ corrispondente alla Hamiltoniana:

H= \( \displaystyle \frac{{1}}{{{2}{m}}}{\left({{p}_{{x}}^{{2}}}+{{p}_{{y}}^{{2}}}\right)}+\omega{\left({y}{p}_{{x}}+{x}{p}_{{y}}\right)}+\frac{{1}}{{2}}{k}{{\left({x}{\cos{{\left(\omega{t}\right)}}}-{y}{\sin{{\left(\omega{t}\right)}}}\right)}}^{{2}} \)

dicendomi che la trasformazione \( \displaystyle {X}={x}{\cos{{\left(\omega{t}\right)}}}-{y}{\sin{{\left(\omega{t}\right)}}} \)\( \displaystyle {Y}={x}{\sin{{\left(\omega{t}\right)}}}+{y}{\cos{{\left(\omega{t}\right)}}} \) rende risolubile + facilmente..

ovviamente X Y sono parte del 2° sistema di coordinate fibrate.
Il mio dubbio è :dopo essermi ricavato pX e PY dalla trasformazione, devo
trasformare l'Ham. con le nuove coordinate cioè fare \( \displaystyle {H}_{{T}}=\frac{{\delta{F}}}{{\delta{t}}}+{H} \) e partire quindi da li per calcolare l'integrale di HJ???
dove F rappresenta la funzione di trasferimento?
grazie

[*brssfn76]

Riporto un esercizio che è rimasto insoluto da tempo nella speranza che qualcuno riesca a darmi una dritta su come ricavare la funzione generatrice
che permette di passare dalla \( \displaystyle {H}{\left({t},{x},{y},\rho_{{x}},\rho_{{y}}\right)}\to{H}_{{T}}{\left({t},{X},{Y},{P}_{{X}},{P}_{{Y}}\right)} \)
Tale funzione generatrice "dovrebbe" essere definita come una \( \displaystyle {F}{\left({t},{x},{y},{P}_{{X}},{P}_{{Y}}\right)} \) cioè una funzione in coordinate miste.
concludo dicendo che i due sistemi di coordinate fibrate sono legati dalla trasformazione:

\( \displaystyle {\left\lbrace{\left({X}={X}{\left({t},{x},{y}\right)}\right)},{\left({Y}={Y}{\left({t},{x},{y}\right)}\right)},{\left({P}_{{X}}=\rho_{{y}}\frac{{\partial{y}}}{{\partial{X}}}\right)},{\left({P}_{{Y}}=\rho_{{x}}\frac{{\partial{x}}}{{\partial{Y}}}\right)}\right.} \)

Ho provato oggi ha riprendere l'esercizio ma non riesco a trovare la generatrice che mi dovrebbe permettere di risolvere l'esercizio.

vi prego anche un link su qualche esempio di soluzione sarebbe assai gradito

grazie