Meccanica lagrangiana: molle e gravità

[Paolo90]

Problema. Un punto materiale $P$ di massa $m$ si muove nello spazio $\RR^3$ soggetto al campo gravitazionale $(0; 0; -g)$ e a 2 molle di costante elastica $k > 0$ vincolate nei punti $(0; 0; 0)$ e $(1; 0; 0)$.
(i) Si scriva la Lagrangiana del moto.
(ii) Si descrivano le orbite di P.
(iii) Si trovino i gruppi di simmetria e le corrispondenti quantita conservate nel caso in cui $g = 0$.

Allora, per prima cosa, considerate le coordinate lagrangiane $q^i = x,y,z$, calcolo
\[
T = \frac{1}{2}m\vert v \vert^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2 + \dot{y}^2)
\]

Il potenziale sarà
\[
U = \frac{k}{2}(x^2+y^2+z^2) + \frac{k}{2}((x-1)^2+y^2+z^2)-mgz = k(x^2+y^2+z^2)-kx-mgz
\]
a meno di ininfluenti costanti additive. Dunque la lagrangiana è
\[
L:= T+U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2 + \dot{y}^2)+k(x^2+y^2+z^2)-kx-mgz
\]

Tutto ok fin qui? Che ne pensate? Per determinare le orbite sono privo di idee. Che cosa suggerite?

Per il punto terzo, ho notato che la lagrangiana non dipende dalla coordinata $y$, sicché il momento coniugato $\frac{\partialL}{\partial\dot{y}}$ è una costante del moto, i.e. un integrale primo.
Domanda (un po' teorica): qual è la simmetria che mi permette di esprimere ciò?
E poi ci sono altre quantità conservate? Ho capito che sotto c'è il teorema di Noether, ma non so bene come applicarlo.

Grazie in anticipo per l'aiuto.

[yoshiharu]

Dunque la lagrangiana è
\[
L:= T+U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2 + \dot{z}^2)+k(x^2+y^2+z^2)-kx-mgz
\]

Tutto ok fin qui? Che ne pensate?

Penso che c'e' un segno sbagliato

Per determinare le orbite sono privo di idee. Che cosa suggerite?

Potresti completare i quadrati, visto che il potenziale e' un polinomio di secondo grado.

Per il punto terzo, ho notato che la lagrangiana non dipende dalla coordinata $y$, sicché il momento coniugato $\frac{\partialL}{\partial\dot{y}}$ è una costante del moto, i.e. un integrale primo.

Ma se $g=0$ la $y$ non scompare dal potenziale. Il sistema in assenza di gravita' acquisisce la simmetria per rotazioni attorno all'asse $x$ (quello che congiunge i due punti di sospensione delle molle). Nella formula del teorema di Noether dovrai quindiinserire il generatore (sulle coordinate) delle rotazioni intorno a quell'asse, la quantita' conservata sara' il momento angolare lungo quell'asse (cioe' la sua proiezione $L_x$), basta sostituire.

[Paolo90]

Anzitutto, ti ringrazio molto per la tua gentile risposta.

Dunque la lagrangiana è
\[
L:= T+U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2 + \dot{z}^2)+k(x^2+y^2+z^2)-kx-mgz
\] [...]

Penso che c'e' un segno sbagliato

Uh, verissimo!
\[
L:= T+U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2 + \dot{z}^2)+k(x^2+y^2+z^2)-kx+mgz
\]
Va meglio ora? Grazie

Per determinare le orbite sono privo di idee. Che cosa suggerite?

Potresti completare i quadrati, visto che il potenziale e' un polinomio di secondo grado.

Suggerisci di completare i quadrati nel potenziale? Cioè scrivere
\[
U=+k(x^2+y^2+z^2)-kx+mgz = k\left[ \left(x-\frac{1}{2})^2+y^2+z^2\right)\right]+mgz-\frac{k}{4}
\]

Purtroppo, però, non ho capito dove mi vuoi portare. L'unico modo che mi viene in mente per determinare le orbite del moto è risolvere le equazioni di Lagrange: devo fare questo o c'è una strada più "easy"?

Per il punto terzo, ho notato che la lagrangiana non dipende dalla coordinata $y$, sicché il momento coniugato $\frac{\partialL}{\partial\dot{y}}$ è una costante del moto, i.e. un integrale primo.

Ma se $g=0$ la $y$ non scompare dal potenziale. Il sistema in assenza di gravita' acquisisce la simmetria per rotazioni attorno all'asse $x$ (quello che congiunge i due punti di sospensione delle molle). Nella formula del teorema di Noether dovrai quindiinserire il generatore (sulle coordinate) delle rotazioni intorno a quell'asse, la quantita' conservata sara' il momento angolare lungo quell'asse (cioe' la sua proiezione $L_x$), basta sostituire.

Sì, hai ragione, ieri sera non so bene che cosa ho scritto, scusami.
Purtroppo, però, non sono sicuro di aver capito bene. Come fai a sapere che il sistema avrà la simmetria per rotazioni rispetto all'asse $x$? Forse sei passato in coordinate cilindriche?

In effetti, l'unico modo che mi viene in mente sono le coordinate cilindriche: in queste coordinate, l'energia cinetica
\[
T=\frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\vartheta}^2+\dot{z}^2)
\]
ma ho qualche problemino con il potenziale della molla in $(1,0,0)$. Se però riuscissi a scoprire che il potenziale è indipendente da $\vartheta$ sarei a posto, giusto?

Scusami per le idee un po' confuse e grazie per l'aiuto.

[yoshiharu]

Uh, verissimo!
\[
L:= T+U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2 + \dot{z}^2)+k(x^2+y^2+z^2)-kx+mgz
\]
Va meglio ora? Grazie

Ahem, no
(quella che hai scritto e' l'hamiltoniana, la lagrangiana e' $L=T-U$).

Suggerisci di completare i quadrati nel potenziale? Cioè scrivere
\[
U=+k(x^2+y^2+z^2)-kx+mgz = k\left[ \left(x-\frac{1}{2})^2+y^2+z^2\right)\right]+mgz-\frac{k}{4}
\]

Purtroppo, però, non ho capito dove mi vuoi portare. L'unico modo che mi viene in mente per determinare le orbite del moto è risolvere le equazioni di Lagrange: devo fare questo o c'è una strada più "easy"?

Beh, a parte i segni di cui parlavo prima, devi ... ahem ... "completare il completamento dei quadrati" (c'e' anche $z$).

Sì, hai ragione, ieri sera non so bene che cosa ho scritto, scusami.
Purtroppo, però, non sono sicuro di aver capito bene. Come fai a sapere che il sistema avrà la simmetria per rotazioni rispetto all'asse $x$? Forse sei passato in coordinate cilindriche?

Non mi servono le coordinate: c'e' una evidente simmetria lungo quell'asse, in assenza di gravita'.
La massa, senza gravita', e' in un campo di forze che e' la somma di due campi centrali (e lineari). La retta che passa per i centri di questi due campi e' evidentemente un asse di simmetria. Potresti evidenziare cio' passando in coordinate cilindriche, ma non e' necessario nemmeno introdurle le coordinate (di qualunque tipo), visto che e' sufficiente una semplice constatazione geometrica. Se vuoi puoi pensarla anche cosi': sommi due campi centrali, la simmetria rotazionale (completa) di ciascuno dei due si riduce a quella lungo l'asse che li congiunge.
Quando c'e' simmetria per rotazioni su un asse, il momento angolare proiettato lungo quell'asse e' una quantita' conservata (PdP con l'hamiltoniana nulle, in meccanica hamiltoniana).
L'implementazione di cio' in termini matematici e' il teorema di Noether, anche se in casi come questo si riconosce a prima vista. Per un esempio rapido puoi dare un'occhiata qui, al terzo esempio.

In effetti, l'unico modo che mi viene in mente sono le coordinate cilindriche: in queste coordinate, l'energia cinetica
\[
T=\frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\vartheta}^2+\dot{z}^2)
\]
ma ho qualche problemino con il potenziale della molla in $(1,0,0)$. Se però riuscissi a scoprire che il potenziale è indipendente da $\vartheta$ sarei a posto, giusto?

Se prendi come asse delle coordinate l'asse delle $x$, hai le nuove coordinate cilindriche
\( \displaystyle (\rho = \sqrt{y^2+z^2}, \vartheta = arg(y+iz), \zeta = x) \)

e in queste coordinate il potenziale (senza gravita') dipende solo da $\rho$ e $\zeta$, qualcosa tipo (se non ho cannato)

\( \displaystyle \frac{k}{2}(\rho^2+\zeta^2) + \frac{k}{2}(\rho^2+(\zeta-1)^2) \)

PS Chi impara cose nuove deve avere le idee confuse

[Paolo90]

Non so davvero come ringraziarti, mi stai dando una gran mano.

Uh, verissimo!
\[
L:= T+U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2 + \dot{z}^2)+k(x^2+y^2+z^2)-kx+mgz
\]
Va meglio ora? Grazie

Ahem, no
(quella che hai scritto e' l'hamiltoniana, la lagrangiana e' $L=T-U$).

Qui c'è un problema di fondo. Chi è $U$? Per me è il potenziale, cioè una funzione scalare il cui gradiente è la forza. Immagino invece che per te sia l'energia potenziale, quindi il potenziale cambiato di segno.

In definitiva, se ho capito bene, la lagrangiana è sempre energia cinetica + potenziale (cioè energia cinetica meno energia potenziale): ok? Però a questo punto la domanda è: sono giusti i segni del potenziale? Temo di no. Ragionando un attimo, un punto sollecitato da una molla di costante $k$ è sottoposto alla forza di Hooke, quindi $F=-kx$. Di conseguenza il potenziale è
\[
U_{el} = -\frac{1}{2}kx^2
\]
giusto? Ne segue che - finalmente - la mia lagrangiana è
\[
L:= T+U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2 + \dot{z}^2)-k(x^2+y^2+z^2)+kx+mgz
\]
(l'energia potenziale gravitazionale dovrebbe essere $-mgz$, quindi il potenziale è $mgz$).
Non mi chiedere chi mi ha messo in testa queste brutte cose del potenziale; mi sono sempre domandato se sia utile, a me confonde solo le idee... Sarebbe un errore ragionare solo in termini di energia potenziale?

Beh, a parte i segni di cui parlavo prima, devi ... ahem ... "completare il completamento dei quadrati" (c'e' anche $z$).

Ok, dunque
\[
U=-k\left[ \left(x+\frac{1}{2}\right)^2+y^2+\left(z-\frac{mg}{2k}\right)^2\right]+\text{costanti}
\]

Ora scusami ma non so proprio come andare avanti? Come trovo le orbite?

Non mi servono le coordinate: c'e' una evidente simmetria lungo quell'asse, in assenza di gravita'.
La massa, senza gravita', e' in un campo di forze che e' la somma di due campi centrali (e lineari). La retta che passa per i centri di questi due campi e' evidentemente un asse di simmetria. Potresti evidenziare cio' passando in coordinate cilindriche, ma non e' necessario nemmeno introdurle le coordinate (di qualunque tipo), visto che e' sufficiente una semplice constatazione geometrica. Se vuoi puoi pensarla anche cosi': sommi due campi centrali, la simmetria rotazionale (completa) di ciascuno dei due si riduce a quella lungo l'asse che li congiunge.

E' un mio grande limite: non ho questo tipo di intuizione purtroppo. Ho sempre avuto difficoltà ad immaginarmi fisicamente la situazione. Ad ogni modo, quello che dici è chiaro e ti ringrazio per la spiegazione.

Quando c'e' simmetria per rotazioni su un asse, il momento angolare proiettato lungo quell'asse e' una quantita' conservata (PdP con l'hamiltoniana nulle, in meccanica hamiltoniana).
L'implementazione di cio' in termini matematici e' il teorema di Noether, anche se in casi come questo si riconosce a prima vista. Per un esempio rapido puoi dare un'occhiata qui, al terzo esempio.
[...]
Se prendi come asse delle coordinate l'asse delle $x$, hai le nuove coordinate cilindriche
\( \displaystyle (\rho = \sqrt{y^2+z^2}, \vartheta = arg(y+iz), \zeta = x) \)

e in queste coordinate il potenziale (senza gravita') dipende solo da $\rho$ e $\zeta$, qualcosa tipo (se non ho cannato)

\( \displaystyle \frac{k}{2}(\rho^2+\zeta^2) + \frac{k}{2}(\rho^2+(\zeta-1)^2) \)

Capisco. In effetti, come prima applicazione del teorema di Noether potevo scegliermi anche qualcosa di più semplice. Ad ogni modo, leggendo anche il link credo di aver capito.

PS Chi impara cose nuove deve avere le idee confuse

E' una grande verità. Ti ringrazio infinitamente per la pazienza, la disponibilità e l'aiuto.

[yoshiharu]

Qui c'è un problema di fondo. Chi è $U$? Per me è il potenziale, cioè una funzione scalare il cui gradiente è la forza. Immagino invece che per te sia l'energia potenziale, quindi il potenziale cambiato di segno.

Aaaahhhh, ora ho capito...
Guardando anche i segni non immaginavo questa cosa. In quale contesto si usa questa terminologia? Meccanica analitica al CdL in Matematica?

Ne segue che - finalmente - la mia lagrangiana è
\[
L:= T+U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2 + \dot{z}^2)-k(x^2+y^2+z^2)+kx+mgz
\]
(l'energia potenziale gravitazionale dovrebbe essere $-mgz$, quindi il potenziale è $mgz$).

Suggerimento per l'intuizione: quando non tiviene al primo colpo il segno dell'energia potenziale, prova a immaginare dovre andrebbe spontaneamente il sistema. Con una forza gravitazionale $m\underline g$ la massa tende verso il basso, e in quella direzione l'energia potenziale deve diminuire: per cui il segno (dell'energia) deve esser positivo (energia maggiore quanto piu' lo porti in alto). In sintesi:
\( \displaystyle L:=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2 + \dot{z}^2)-k(x^2+y^2+z^2)+kx-mgz \)

Non mi chiedere chi mi ha messo in testa queste brutte cose del potenziale; mi sono sempre domandato se sia utile, a me confonde solo le idee... Sarebbe un errore ragionare solo in termini di energia potenziale?

Beh, per un fisico, quando si parla di "potenziale in meccanica classica" la prima cosa che viene in mente e' quella funzione il cui gradiente cambiato di segno da' la forza...quindi: si', si puo' ragionare solo in termini di energia potenziale

Ok, dunque
\[
U=-k\left[ \left(x+\frac{1}{2}\right)^2+y^2+\left(z-\frac{mg}{2k}\right)^2\right]+\text{costanti}
\]
Ora scusami ma non so proprio come andare avanti? Come trovo le orbite?

A parte il solito segno (sarebbe $(z+\frac{mg}{2k})^2$ e $(x-\frac{1}{2})^2$), non ti viene in mente una semplice trasformazione di coordinate che porta questo problema in un problema noto?
Se fai questo piccolo sforzo lo spirito dei problemi di meccanica passati ti ricompensera'

E' un mio grande limite: non ho questo tipo di intuizione purtroppo. Ho sempre avuto difficoltà ad immaginarmi fisicamente la situazione.

L'intuizione non e' come il coraggio di don Abbondio: se uno non ce l'ha se la puo' sempre guadagnare (con la pratica): non devi pero' pensare negativo ("non ce la posso fare"), per citare R.P.Feynman: "Cio' che uno stupido fa, un altro stupido lo puo' rifare".
[NB Qui "stupido" non ha accezioni negative, veicola il concetto che secondo il Nostro non serve un genio].

[Paolo90]

Ti ringrazio nuovamente. Dunque, per prima cosa, sì la pessima notazione viene da lì, un vecchio corso di Meccanica Razionale al CdL in Matematica (dimmi, si vede tanto che sono un matematico - e non un fisico? )

Ad ogni modo, vedo con piacere che sono riuscito a sbagliare ancora una volta i segni! E' la lagrangiana con la storia più lunga di sempre! Comunque il tuo suggerimento per i segni è ottimo, lo terrò a mente (e soprattutto, da adesso in poi, ragionerò solo in termini di energia potenziale: al diavolo il resto! ).

Per quanto riguarda le orbite, è vero, un semplice cambiamento di coordinate mi porta l'energia potenziale nella forma
\[
U(X,Y,Z) = k(X^2+Y^2+Z^2)=kr^2
\]
che è l'energia potenziale elastica. Nella mia testa si accendono le lampadine: oscillatore armonico (piano?) $\Rightarrow$ orbite ellittiche (in particolari, chiuse). Sono più o meno vicino alla soluzione? Grazie.

P.S. Grazie per la bella citazione di Feynman, l'ho apprezzata veramente molto.

[yoshiharu]

Ti ringrazio nuovamente. Dunque, per prima cosa, sì la pessima notazione viene da lì, un vecchio corso di Meccanica Razionale al CdL in Matematica (dimmi, si vede tanto che sono un matematico - e non un fisico? )

Ci sono i pro e i contro in tutte le categorie.
Ad esempio ho incontrato molti piu' matematici interessati (e curiosi riguardo) al lavoro (mio o di altri fisici) anche se lontano dal proprio campo, rispetto ai fisici, a pari condizioni. L'ottimo sarebbe fare un po' e un po'
Nel tuo caso l'avevo ipotizzato ma non ne ero sicuro: non per quello che sapevi/non sapevi tu, ma perche' era evidente che a lezione non eri stato esposto al discorso delle simmetrie dei problemi. E' una carenza (importante) della didattica, imho.

Nella mia testa si accendono le lampadine: oscillatore armonico (piano?) $\Rightarrow$ orbite ellittiche (in particolari, chiuse). Sono più o meno vicino alla soluzione?

Direi che sei dove dovresti essere
Adesso una domandina che potrebbe aprire un altra finestrella sulla simmetria: come mai le orbite di un oscillatore armonico sono piane (anche se l'oscillatore e' tridimensionale)?
(Sul fatto che le orbite limitate siano chiuse ne parliamo un'altra volta (o, tanto per gradire))

[Paolo90]

Scusa per il ritardo, ma sono stato impegnato.

Adesso una domandina che potrebbe aprire un altra finestrella sulla simmetria: come mai le orbite di un oscillatore armonico sono piane (anche se l'oscillatore e' tridimensionale)?
(Sul fatto che le orbite limitate siano chiuse ne parliamo un'altra volta (o, tanto per gradire))

Per quanto riguarda le orbite chiuse, avevo in mente esattamente il teorema di Bertrand.

La tua domanda sulle orbite di un oscillatore armonico mi interessa parecchio e ci ho pensato un bel po'. Dunque, per prima cosa, da matematico, mi verrebbe da dirti: scriviamo l'equazione differenziale $\ddot{r}=-\omega^2r$ come sistema e troviamo un integrale primo ma penso che la strada non sia fruttuosa (o almeno, io non sono riuscito a concludere da qui che i moti siano piani).

Forse la giustificazione più pulita di tutto ciò tira in ballo i moti centrali, dico bene? La cosa che mi interessa di più - però - è capire come ragionare mettere in pratica i tuoi insegnamenti. Ragioniamo per simmetrie: supponiamo che le orbite non siano piane. Allora avrei almeno due punti - simmetrici rispetto al piano (che contiene la molla e il punto all'istante iniziale) che vengono raggiunti dal moto. E adesso? Forse si conclude dicendo che in tali punti la forza non può essere proporzionale allo spostamento e quindi è assurdo?

Non so, sento di aver fatto di nuovo pasticci. Mi puoi dare una mano a formalizzare un attimo le mie (incasinatissime) idee? Ti ringrazio.

Ci sono i pro e i contro in tutte le categorie.
Ad esempio ho incontrato molti piu' matematici interessati (e curiosi riguardo) al lavoro (mio o di altri fisici) anche se lontano dal proprio campo, rispetto ai fisici, a pari condizioni. L'ottimo sarebbe fare un po' e un po'
Nel tuo caso l'avevo ipotizzato ma non ne ero sicuro: non per quello che sapevi/non sapevi tu, ma perche' era evidente che a lezione non eri stato esposto al discorso delle simmetrie dei problemi. E' una carenza (importante) della didattica, imho.

Sì, ti capisco. Per quanto mi riguarda, c'è parecchio interesse nel comprendere queste cose, anche perché purtroppo non le ho mai affrontate seriamente e vorrei capire. Grazie per l'aiuto che mi stai dando.

[yoshiharu]

Forse la giustificazione più pulita di tutto ciò tira in ballo i moti centrali, dico bene?

Partiamo dal potenziale: si dice "centrale" quando dipende solo dalla distanza dal centro, una cosa tipo $V(\vec{x}) = f(|\vec{x}|)$. Quindi il problema gode di simmetria per rotazioni. Quale quantita' viene conservata se c'e' invarianza per rotazioni?
Il "flusso di idee" e' questo: quando hai una quantita' conservata lungo le traiettorie del moto del sistema, ad ogni traiettoria puoi appiccicare un'etichetta (cioe' il valore di quella quantita' su quella traiettoria). Ma questo puo' introdurre dei vincoli sul moto del sistema (appunto perche' e' "proibito" per l'evoluzione temporale cambiare questa quantita'). E un vincolo e' una informazione che hai riguardo alle soluzioni delle equazioni del moto (senza aver ancora iniziato a risolverle, peraltro).

Buon divertimento