Metodi a punto fisso

[squalllionheart]

Salve mi sto impiccando sull'ultima parte di un esercizio vorrei che qualcuno mi delucidasse allora:
Analizzare la convergenza del metodo iterativo
\( \displaystyle {x}_{{{i}+{1}}}={g{{\left({x}_{{i}}\right)}}} \), \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={a}{\cos{{\left({x}\right)}}} \) con \( \displaystyle {x}\in{\left({0},\frac{\pi}{{2}}\right)} \)
nei casi \( \displaystyle {a}\in{\left({0},\frac{\pi}{{3}}\right)} \) ed \( \displaystyle {a}\in{\left(\frac{{2}}{{3}}\pi,\pi\right)} \)

Allora la questione non mi sembrava difficile fino al che non sono arrivata alla solita relazione \( \displaystyle {g{'}}{\left(\alpha\right)}=-{a}{\sin{{\left(\alpha\right)}}} \) a questo punto so che ho convergenza se \( \displaystyle {\left|{g{'}}{\left(\alpha\right)}\right|}={\left|-{a}{\sin{{\left(\alpha\right)}}}\right|}\lt{1} \)
Ma dato che \( \displaystyle \alpha \) è punto fisso osservo che \( \displaystyle {g{{\left(\alpha\right)}}}={a}{\cos{{\left(\alpha\right)}}}=\alpha \) segue che \( \displaystyle {a}{\cos{{\left(\alpha\right)}}}=\alpha \) cioè che \( \displaystyle {a}=\frac{\alpha}{{{\cos{{\left(\alpha\right)}}}}} \) a questo punto sostituisco la relazione ottenuta in \( \displaystyle {g{'}} \) e ottenendo
\( \displaystyle {\left|{g{'}}{\left(\alpha\right)}\right|}={\left|-{a}{\sin{{\left(\alpha\right)}}}\right|}={\left|-\frac{\alpha}{{{\cos{{\left(\alpha\right)}}}}}{\sin{{\left(\alpha\right)}}}\right|}\lt{1} \) cioè
\( \displaystyle {t}{g{{\left(\alpha\right)}}}\lt\frac{{1}}{{\alpha}} \) da uno studio grafico osservo che la disugualianza è vera per \( \displaystyle \alpha\le\frac{\pi}{{4}} \).
A questo punto mi blocco e non so come concludere dato che la proff ci ha messo di studiare la convergenza nei casi \( \displaystyle {a}\in{\left({0},\frac{\pi}{{3}}\right)} \) ed \( \displaystyle {a}\in{\left(\frac{{2}}{{3}}\pi,\pi\right)} \).
Grazie