"Per ogni n \( \displaystyle \in \) N, trovare qual è il più grande \( \displaystyle {k} \) tale che \( \displaystyle {{2}}^{{k}} \) divide \( \displaystyle {{3}}^{{n}}+{1} \)
Ho iniziato dimostrando che nessun \( \displaystyle {{3}}^{{n}}+{1} \) è multiplo di 8, cioè di \( \displaystyle {{2}}^{{3}} \), e l'ho dimostrato così:
3 è un numero che diviso per 8 dà resto 3, e questo lo possiamo scrivere in due modi:
3=[3]\( \displaystyle _{8} \)
3=8m+3, con m \( \displaystyle \in \) N
moltiplichiamo 3 per 3
\( \displaystyle {3}\cdot{3}={\left({8}{m}+{3}\right)}\cdot{3}={24}{m}+{9}={8}{\left({m}+{4}\right)}+{1} \)
cioè \( \displaystyle {3}\cdot{3}={{3}}^{{2}} \) è un numero che diviso per 8 dà resto 1, \( \displaystyle {{3}}^{{2}} \)=[1]\( \displaystyle _{8} \)
adesso moltiplichiamo 9 nuovamente per 3.
\( \displaystyle {9}\cdot{3}={\left({8}{\left({m}+{4}\right)}+{1}\right)}\cdot{3}={8}{\left({m}+{7}\right)}+{3} \)
cioè \( \displaystyle {9}\cdot{3}={{3}}^{{3}} \) è un numero che diviso per 8 dà resto 3, \( \displaystyle {{3}}^{{3}} \)=[3]\( \displaystyle _{8} \)
Adesso è normale che questo si possa estendere a tutte le potenze di 3, cioè le potenze di 3 si alternano:
1) per n pari \( \displaystyle {{3}}^{{n}} \)=[1]\( \displaystyle _{8} \) e quindi \( \displaystyle {{3}}^{{n}}+{1} \)=[2]\( \displaystyle _{8} \)
2) per n dispari \( \displaystyle {{3}}^{{n}} \)=[3]\( \displaystyle _{8} \) e quindi \( \displaystyle {{3}}^{{n}}+{1} \)=[4]\( \displaystyle _{8} \)
E' proprio questo passaggio che non mi è chiarissimo. Come faccio, nelle dimostrazioni rigorose, ad estendere il concetto a TUTTE le potenze di 3
Voglio dire: affermato che \( \displaystyle {{3}}^{{0}} \)=[1]\( \displaystyle _{8} \), \( \displaystyle {{3}}^{{2}} \)=[3]\( \displaystyle _{8} \) e \( \displaystyle {{3}}^{{3}} \)=[1]\( \displaystyle _{8} \), quali sono le parole precise che mi permettono di dire che le potenza di 3 sono o [1]\( \displaystyle _{8} \) o [3]\( \displaystyle _{8} \) 
