Metodo di Jacobi converge più rapidamente di Gauss-Seidel

[DevelopExpert]

Buongiorno, Mi è stato assegnato il compito di realizzare un programma che data una matrice e il relativo vettore di termini noti ne calcoli la soluzione con il metodo di Jacobi e con quello di Gauss-Seidel, e di analizzare i risultati (mettere a confronto i due metodi, con quale si arriva prima alla soluzione... ecc...)

Generalmente il metodo di Gauss-Seidel converge prima alla soluzione del sistema lineare, invece con questi dati:

n=3 A=[-3,3,-6,-4,7,-8,5,7,-9] b=[-6,-5,3]

il metodo di Jacobi converge prima rispetto a quello di Gauss-Seidel, qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi il perchè? Grazie....

[walter89]

la regola che il metodo di Gauss-Seidel è più veloce di quello di Jacobi non vale in generale ma si dimostra che vale sempre solo per le matrici tridiagonali

[DevelopExpert]

la regola che il metodo di Gauss-Seidel è più veloce di quello di Jacobi non vale in generale ma si dimostra che vale sempre solo per le matrici tridiagonali

ok grazie, ma esiste un perchè del metodo di Jacobi che converge più velocemente rispetto a quello di Gauss-Seidel? Cioè perchè un metodo iterativo converge più velocemente rispetto ad un'altro? L'algoritmo è migliore, la matrice si adatta all'algoritmo ecc...

[piadinaro]

Sì, il motivo è quello che porta alla definizione di velocità di convergenza: \( \displaystyle -{\ln{{\left(\rho\right)}}} \), dove \( \displaystyle \rho \) è il raggio spettrale della matrice di iterazione \( \displaystyle {B} \). Minore è il raggio, maggiore è la velocità di convergenza. Viene dal fatto che \( \displaystyle {{e}}^{{{\left({k}+{1}\right)}}}={B}{{e}}^{{{\left({k}\right)}}} \) dove \( \displaystyle {{e}}^{{{\left({i}\right)}}} \) indica l'errore al passo \( \displaystyle {i} \)-esimo.