Metodo di Jacobi

[bushido]

In un esercizio, dalla matrice di partenza A (di dimensioni 3x3) ho ricavato la matrice di iterazione del metodo di Jacobi il cui raggio spettrale è pari a zero.

Provando ad applicare il metodo, in 3 iterazioni ho avuto la convergenza verso la soluzione del sistema Ax=b. E’ giusto dire che ciò è successo perché la matrice ha un cluster di autovalori a 1, cioè che il metodo ha generato un buon precondizionamento della matrice A?

[david_e]

Spiegati meglio:

> E’ giusto dire che ciò è successo perché la matrice ha un cluster di autovalori a 1

Quale matrice?

> il metodo ha generato un buon precondizionamento della matrice A

Cosa intendi con "generare un precondizionamento"? Al massimo si puo' precondizionare la matrice di partenza e poi applicare il metodo.

> la matrice di iterazione del metodo di Jacobi il cui raggio spettrale è pari a zero

Questo e' impossibile a meno che la soluzione del sistema non sia il vettore nullo o che la matrice di partenza sia singolare.

Perdonami, ma proprio non sono riuscito a comprendere quello che chiedi.

[bushido]

>Quale matrice?
Intendevo la matrice P^-1 A

“Indicando con µi e vi gli autovalori e gli autovettori della matrice P^#8722;1A, si
ha che

(I #8722; P^#8722;1A)vi = (1 #8722; µi)vi,

il che mostra che la matrice di iterazione B ha autovalori (1#8722;µi) e autovettori
vi. La condizione per la convergenza diventa quindi

max
i=1,...,n |1 #8722; µi| < 1

cioè

0 < µi < 2, i = 1, . . . , n.

Dal momento che la convergenza sarà tanto più veloce quanto più il raggio
spettrale di B è vicino a zero, questo significa che un buon precondizionatore
deve far si che gli autovalori della matrice precondizionata P#8722;1A presentino
un cluster a 1, cio`e che si accumulino in un intorno di 1.”

http://bugs.unica.it/~gppe/did/ca/inge/cn.amb/cn.pdf






>Cosa intendi con "generare un precondizionamento"? Al massimo si puo' precondizionare la >matrice di partenza e poi applicare il metodo.

Intendo dire che risolvere un sistema lineare Ax=b con un metodo iterativo del primo ordine stazionario, equivale a risolvere un sistema preconsizionato di tipo:

P^-1 Ax=P-1b

Se partiamo dallo splitting additivo della matrice:
A=P-N= D-E-F

(P-N)x=b

Px-Nx=b

Moltiplico per P^-1

x- P^-1 Nx = P^-1 b

metto in evidenza x:
(I- P^-1 N)x= P^-1 b

Ragionando sulla matrice al primo termine, sostituisco N=P-A:

(I- P^-1 N) =I- P^-1(P-A)=P^-1 A

Quindi
P^-1 Ax=P-1b
Spero di essere stato chiaro, comunque sono le parole usate dal professore, più o meno.


>la matrice di iterazione del metodo di Jacobi il cui raggio spettrale è pari a zero
>Questo e' impossibile a meno che la soluzione del sistema non sia il vettore nullo o che la >matrice di partenza sia singolare.

la matrice di partenza è triangolare, con gli elementi diagonali non nulli:
3 0 0
2 3 0
1 2 3

Quindi determinante non nullo.

Calcolando la matrice di iterazione ottengo:

0 0 0
-2/3 0 0
-1/3 -2/3 0

[david_e]

Si, scusami se non ho capito subito.

Tanto per cominciare cio' che ho detto sull'impossibilita' di aver B con autovalori nulli e' sbagliato, vale solo se il sistema a b=0.

Si, in pratica hai usato il classico schema di Jacobi con B = I - D^-1 A dove D e' la diagonale di A giusto?

Beh il metodo converge in tre passi perche' vale la relazione ricorsiva sull'errore:

e_k+1 = B e_k

Se B e' la matrice di iterazione.

Siccome B ha autovalori nulli in tre iterazioni manda e_k a zero.

Il fatto centrale e' che B ha autovalori nulli. Cio' e' dovuto al fatto che gli autovalori di A sono pari a 1.

[bushido]

sono io che ho esposto male il problema, comunque grazie