Mi sento in vena...

[karl]

Oggi sono scatenato e vi propongo altri due esercizi.

1)Fattorizzare in Q[x] il polinomio:
\( \displaystyle {{x}}^{{8}}+{4}{{x}}^{{2}}+{4} \)

2)siano a,b,c,d 4 reali tali che:
\( \displaystyle {a},{d}\ge{0};{b},{c}\gt{0};{b}+{c}\ge{a}+{d} \)
Determinare il minimo di :
\( \displaystyle \frac{{b}}{{{c}+{d}}}+\frac{{c}}{{{a}+{b}}} \)

Mi raccomando,niente software matematici e derivate!!
Archie.

[blackdie]

Per il secondo:

Io dico 1...dimmi se è corretto cosi posto la dimostrazione....
Cmq non ne sono per niente sicuro ....
Se è sbagliato evito di farlo...

[karl]

Non ci siamo,mi dispiace.
Il minimo e' \( \displaystyle \sqrt{{2}}-\frac{{1}}{{2}} \)
Archimede

[Mistral]

Oggi sono scatenato e vi propongo altri due esercizi.

1)Fattorizzare in Q(x) il polinomio:
\( \displaystyle {{x}}^{{8}}+{4}{{x}}^{{2}}+{4} \)
.....

Il polinomio è irriducibile in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{X}\right]} \) e quindi lo è in \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{X}\right]} \), per il Lemma di Gauss che ho citato in un altro mio post.

Vediamo perchè non ha radici in \( \displaystyle \mathbb{Z} \). Se avesse radici dovrebbero dividere \( \displaystyle {4} \), quindi si possono al più avere \( \displaystyle \pm{4},\pm{2},\pm{1} \). Nessuno di questi numeri è radice.


Saluti

Mistral

[karl]

@Mistral
Mi sembra strano,perche' la fattorizzazione ce l'ho!!
\( \displaystyle {\left({{x}}^{{4}}-{2}{{x}}^{{3}}+{2}{{x}}^{{2}}-{2}{x}+{2}\right)}{\left({{x}}^{{4}}+{2}{{x}}^{{3}}+{2}{{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)} \)
Com'e' sto' fatto?Forse ho scritto male io oppure perche' il polinomio non ha radici
in Z ma le ha in C.
Ciao

[Mistral]

@Mistral
Mi sembra strano,perche' la fattorizzazione ce l'ho!!
\( \displaystyle {\left({{x}}^{{4}}-{2}{{x}}^{{3}}+{2}{{x}}^{{2}}-{2}{x}+{2}\right)}{\left({{x}}^{{4}}+{2}{{x}}^{{3}}+{2}{{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)} \)
Com'e' sto' fatto?Forse ho scritto male io oppure perche' il polinomio non ha radici
in Z ma le ha in C.
Ciao

No hai ragione tu mi sono sbagliato io , un conto e non avere radici un conto è essere irriducibile. I tuoi fattori sono ora effettivamente irriducibili ed è ad esempio irriducibile il polinomio \( \displaystyle {{x}}^{{8}}+{4}{{x}}^{{2}}+{2} \) con il \( \displaystyle {2} \) al posto del \( \displaystyle {4} \), questo mi ha tratto in inganno.

Saluti

Mistral

[blackdie]

e il secondo come lo hai risolto?

[karl]

@blackdie
La soluzione ,copiata paro paro da un testo!!,e' lunga da scrivere:
vedo se posso postarla in seguito.
Comunque,col senno di poi, ti dico che la trovo alquanto artificiosa e poco intuitiva.
Ciao.
Archimede.

[blackdie]

mah...sono proprio curioso....ho provato in vari modi...ma mi torna sempre 1 come minimo...aspetterò...