Mi voglio integrare anch'io!!!!

[Piera]

verificare che

\( \displaystyle {\int_{{0}}^{{\pi}}}\frac{{{x}{\sin{{x}}}}}{{{2}-{{\sin}}^{{2}}{x}}}{\left.{d}{x}\right.}=\frac{{{\pi}^{{2}}}}{{4}} \)

non sapendo se ho scritto bene l'integrale riporto anche il seguente testo:
int[0 pi] (x sen x)/(2-[sen x]^2)dx=pi^2 /4

[karl]

Detto L l'integrale, abbiamo:
\( \displaystyle {L}={\int_{{0}}^{\pi}}-{x}\frac{{{d}{\left({\cos{{x}}}\right)}}}{{{1}+{{\cos}}^{{2}}{x}}}=-{\int_{{0}}^{\pi}}{x}{d}{\left({a}{r}{c}{t}{g{{\left({\cos{{x}}}\right)}}}\right)} \)
Ovvero:
\( \displaystyle {L}=-{{\left|{x}{a}{r}{c}{t}{g{{\left({\cos{{x}}}\right)}}}\right|}_{{0}}^{\pi}}+{\int_{{0}}^{\pi}}{a}{r}{c}{t}{g{{\left({\cos{{x}}}\right)}}}{\left.{d}{x}\right.}=\frac{{\pi}^{{2}}}{{4}}+{\int_{{0}}^{\pi}}{a}{r}{c}{t}{g{{\left({\cos{{x}}}\right)}}}{\left.{d}{x}\right.} \)
Con la posizione \( \displaystyle {x}=\frac{\pi}{{2}}-{t} \) si ha:
\( \displaystyle {L}=\frac{{\pi}^{{2}}}{{4}}+{\int_{{-\frac{\pi}{{2}}}}^{{+\frac{\pi}{{2}}}}}{a}{r}{c}{t}{g{{\left({\sin{{t}}}\right)}}}{\left.{d}{t}\right.} \)
Ora il diagramma della funzione \( \displaystyle {a}{r}{c}{t}{g{{\left({\sin{{t}}}\right)}}} \) e' simmetrico rispetto all'origine
delle coordinate (infatti essa cambia segno se t diventa -t).Pertanto l'integrale
in \( \displaystyle {\left[-\frac{\pi}{{2}},{0}\right]} \) e' opposto di quello in \( \displaystyle {\left[{0},\frac{\pi}{{2}}\right]} \) e quindi l'integrale
complessivo e' nullo.Da cio' segue il risultato.
Archie.