Migliore approssimazione

[SaucyDrew]

Salve!
Sono alle prese con questo esercizio:
Nello spazio euclideo \( \displaystyle {V}={M}{\left({2}×{2}\right)} \) (matrici di ordine 2 a coefficienti reali) con prodotto scalare definito da \( \displaystyle {\left({A}{\mid}{B}\right)}={t}{r}{\left({A}{{B}}^{{T}}\right)} \), (trA denota la traccia di una matrice A), determinare la matrice appartenente al sottospazio \( \displaystyle {U} \) generato dalle matrici

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{0}\\{0}&{1}}\right)} \) , \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}\\{1}&{1}}\right)} \)

Bisogna calcolare la matrice appartenente a \( \displaystyle {U} \) che meglio approssima questa matrice

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&-{1}\\{3}&{2}}\right)} \)

Ogni volta che vedo 'migliore approssimazione', penso alla proiezione ortogonale di un vettore su un dato sottospazio... Solo che, ammetto, non ho mai capito bene come svolgerla.
Pensavo quindi di trovare l'equazione cartesiana del sottospazio per poi proiettare il vettore con la formula

\( \displaystyle {P}{r}{o}{j}_{{U}}{\left({v}\right)}={\left(\frac{{{v}\cdot{u}}}{{{u}\cdot{u}}}\right)}\cdot{u} \)

Ma la domanda è.. come la trovo l'equazione del sottospazio? come si procede poi esattamente alla proiezione?
Mi scuso se non ho saputo dare proprio un'indicazione su come svolgere l'esercizio ma mi trovo in evidente difficoltà
Vi ringrazio in anticipo!

[SaucyDrew]

Mi viene in mente solo questa come possibile equazione cartesiana dello spazio!
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}+{z}={0}\\{x}+{y}+{z}+{d}={0}}\right.} \)
In ogni caso poi come si potrebbe procedere?
Sembra come se il problema chiedesse la matrice associata a quella proiezione ortogonale su \( \displaystyle {U} \)
E' così?
Spero in un aiuto, domani ho l'esame! Spero non capiti niente del genere ma nell'evenienza vorrei essere preparato!

Aggiornamento :Ora che mi viene in mente.. forse per l'esercizio non è necessario calcolare l'eq cartesiana. Bisognerebbe trovare la base ortonormale e poi svolgere l'algoritmo per la proiezione, giusto? Ma perchè il testo del problema fornisce la definizione di prodotto scalare?
Perchè nella formula \( \displaystyle {P}{r}{o}{j}_{{U}}{\left({v}\right)}={\left({v}\cdot{u}_{{1}}\right)}{u}_{{1}}+{\left({v}\cdot{u}_{{2}}\right)}{u}_{{2}} \) bisogna usare quella definizione per moltiplicare i vettori? In tal caso non credete che il mio professore sia veramente crudele? Sono un mucchio di calcoli!

Tornando all'equazione cartesiana del sottospazio... sarebbe giusta comunque quella trovata?