minimizzazione numerica

[panecasareccio]

buongiorno a tutti

Vorrei gentilmente domandare se esiste qualche teorema che fa al caso mio. Espongo il problema



Sia \( \displaystyle {C}{\left({r}\right)} \) una funzione convessa e differenziabile in \( \displaystyle {{R}}^{{n}} \) tutte le volte che serve. Supponiamo di volerne trovare il minimo numericamente.

Supponiamo di voler utilizzare la seguente versione "normalizzata" del metodo del gradiente discendente, ovvero

\( \displaystyle {r}_{{{n}+{1}}}={r}_{{n}}-{h}\frac{{\nabla{C}{\left({r}\right)}}}{{\left|\nabla{C}{\left({r}\right)}\right|}},\qquad{h}\gt{0} \)

In altre parole, ad ogni passo mi sposto di una quantita' pari ad \( \displaystyle {h} \) in direzione opposta al gradiente.

Ovviamente il metodo non converge, in quanto la distanza tra due posizioni consecutive rimane costantemente uguale ad \( \displaystyle {h} \) anziche' tendere a zero.

Tuttavia, mi viene istintivo pensare che, per ogni valore di h, e per ogni condizione iniziale, il punto \( \displaystyle {r}_{{n}} \) rimanga intrappolato - dopo un numero finito di passi - dentro una ipersfera di raggio \( \displaystyle {h} \) (o proporzionale ad h) e con centro nel minimo.



E' possibile dimostrare la mia affermazione in maniera rigorosa (o qualche affermazione analoga)?
Qualcuno di voi conosce teoremi a riguardo?


Grazie mille per l'aiuto, Panecasareccio.