(Mio) Problema di Natale

[giuseppe87x]

Ah...scusate solo ora leggendo il post si Thomas mi sono reso conto di aver interpretato il quesito in tutt'altra maniera...infatti mi sembrava troppo facile.

[Mistral]

Bentrovato Mistral...
Proviamoci...

Considero fissata la n_upla delle a e indico con c il prodotto sulle colonne (sono considerati parametri!).

Innanzitutto anche la n_upla delle b è fissata con i parametri dati.
Infatti per le ipotesi le radici del polinomio

P(x) = Prod [(x+ai)] - c

ssono la n_upla (bi)[i=1..n]... (notare che il polinomio ha grado n, la produttoria è estesa da 1 a n, scusate se ometto gli indici)
Ora la n_upla delle b potrà essere solo una qualunque permutazione di quella sopra (praticamente si stanno permutando le colonne della matrice ma la sostanza non cambia).


La tesi è che il prodotto sulle colonne è costante, ovvero, con ragionamenti simili a quelli sopra, che esiste una costante d per cui il polinomio:

Q(x) = Prod [(x+bi)] - d

ha come radici la n_upla (ai)[i=1..n]

Per provare l'ultimo passaggio, imponiamo che Q(x) abbia fra le radici perlomeno una delle tante, a1 per esempio, e si vuole provare che se possiede a1, possiederà anche le rimanenti (n-1) radici. Ma andiamo con ordine:

- a1 è radice per un qualche d:

si e basta scegliere d= - Prod [(a1+bi)]

- a1 è radice, quindi

Prod [(a1+bi)]+d=0 per il d sopra

svolgendo i calcoli e ricordando la forma dei polinomio monici

(a1)^n+(a1)^(n-1)*(b1+b2+b3+...+bn)+(a1)^(n-2)(b1b2+b1b3+...)+....+ b1b2...bn+d=0 [1]

se avesse un'altra radice ai, varrebbe anche:

(ai)^n+(ai)^(n-1)*(b1+b2+b3+...+bn)+(ai)^(n-2)(b1b2+b1b3+...)+....+ b1b2...bn+d=0
[2]

e la seconda vale sse vale la differenza tra le due, cioè:

(a1^n - ai^n)+(a1^n - 1-ai^n-1))*(b1+b2+b3+...+bn)+....(a1-ai)(b1b2...bn-1+...)=0
[X]
Ora notiamo che nelle ipotesi, per il teorema fondamentale dell'algebra:

Prod [(x+ai)] -c = Prod [(x-bi)]

applicando il principio di identità dei polinomi all'identità sopra si ottiene:

-(a1+a2+a3+...+an)=b1+b2+...+bn
a1a2+a1a3+...=b1b2+b1b3+...
a1a2...an-1+...=b1b2...bn-1+...
a1a2...an - c=b1b2...bn (questa è inutile )

e applicando queste formule nella [X] si ha una bella identità solo nella n_upla ai, che si vuole dimostrare...

Mi dispiace che non riesco ad alleggerire la notazione, quindi cambio post per non scrivere troppo... nel prox post risolvo l'identità per n=4, dando anche l'algoritmo per generalizzarla...

La soluzione è giusta e coincide abbastanza con quella che io conosco, anche se la mia usando gli stessi principi e più semplice, comunque a posteriori per me è facile dirlo . Nelle formule che danno i coefficienti del polinomio in funzione delle sue radici (formule di Viete) dovresti mettere dei segni alterni, comunque cambia poco. Il prodotto delle righe è \( \displaystyle {{\left(-{1}\right)}}^{{{n}+{1}}}{c} \), dove c è il prodotto comune di ogni colonna. Quando volete posto la soluzione sintetica ma non differente da quella di Thomas.


Saluti e Buon Anno a Tutti

Mistral

[Mistral]

Dati \( \displaystyle {2}{n} \) numeri distinti \( \displaystyle {a}_{{1}},{a}_{{2}},\ldots.,{a}_{{n}} \) e \( \displaystyle {b}_{{1}},{b}_{{2}},\ldots.,{b}_{{n}} \) e definita la matrice (tabella) di \( \displaystyle {n} \) righe ed \( \displaystyle {n} \) colonne come segue:

nella cella \( \displaystyle {\left({i},{j}\right)} \) c'è il numero \( \displaystyle {a}_{{i}}+{b}_{{j}} \)


provare che se il prodotto di ogni colonna è lo stesso allora anche il prodotto di ogni riga è lo stesso.

Posto la soluzione su richiesta condivisa.

Saluti

Mistral

Soluzione sintetica:

Sia \( \displaystyle {P}{\left({X}\right)}={\left({X}+{a}_{{{1}}}\right)}{\left({X}+{a}_{{{2}}}\right)}\ldots{\left({X}+{a}_{{{n}}}\right)}-{\left({X}-{b}_{{{1}}}\right)}{\left({X}-{b}_{{{2}}}\right)}\ldots{\left({X}-{b}_{{{n}}}\right)} \)

allora il grado di \( \displaystyle {P} \) è inferiore ad \( \displaystyle {n} \).

Sia \( \displaystyle {c} \) il prodotto costante delle colonne risulta che \( \displaystyle {P}{\left({b}_{{{i}}}\right)}={c} \) per \( \displaystyle {i}={1},{2},..{n} \), quindi \( \displaystyle {P}{\left({X}\right)}-{c} \) ha \( \displaystyle {n} \) radici distinte questo vuol dire che è identicamente nullo. In particolare \( \displaystyle {c}={P}{\left(-{a}_{{{i}}}\right)}={{\left(-{1}\right)}}^{{{n}+{1}}}{\left({a}_{{{i}}}+{b}_{{{1}}}\right)}{\left({a}_{{{i}}}+{b}_{{{2}}}\right)}\ldots.{\left({a}_{{{i}}}+{b}_{{{n}}}\right)} \) per i=1,2,...,n. Segue che il prodotto delle righe è costante ed è uguale a \( \displaystyle {{\left(-{1}\right)}}^{{{n}+{1}}}{c} \).

Semplice vero?

Saluti

Mistral

[carlo23]

Semplice vero?

Saluti

Mistral

Soluzione sintetica e elegante! Mi ricorda una dimostrazione alternativa di una generalizzazione del Teorema di Wilson...

Ciao!

[Thomas]

Carino ...
anche se così non trovi l'identità "figa"!


Alla prox