Modelli e M-struttura

[vfldj]

Ciao,
ho un esercizio da fare di logica sui modelli. Prima lo scrivo e poi vi dico cosa non ho capito.

Si consideri la struttura \( \displaystyle M = \) < \( \displaystyle M, R^M \) > dove \( \displaystyle M = \) { \( \displaystyle a, b, c, d \) } e \( \displaystyle R \) è un simbolo relazionale binario. La relazione \( \displaystyle R^M \) vale tra due elementi \( \displaystyle x, y \in M \) se e solo se c'è una freccia da \( \displaystyle x \) a \( \displaystyle y \) nel diagramma seguente:

(non sapevo come fare una cosa del genere)
Si determini quali dei seguenti enunciati sono veri e quali falsi in M, specificandone il motivo:
1. \( \displaystyle \forall x \exists y Rxy \)
2. \( \displaystyle \exists x \forall y (Rxy \rightarrow Ryy) \)
3. \( \displaystyle \exists x \forall y (Rxy \rightarrow \forall z (Ryz \rightarrow Rxz)) \)

Io risolverei la 1. in questo modo:
\( \displaystyle M \models \forall x \exists y Rxy \) se e solo se
\( \displaystyle (M,\xi) \models \forall x \exists y Rxy \) se e solo se
\( \displaystyle M, \xi [x \mapsto r], \xi [y \mapsto s]) \models Rxy \)
\( \displaystyle \forall r \in |M| \) , per qualche \( \displaystyle s \in |M| \) se e solo se
<s, r> \( \displaystyle \in R^M \)

però farei così solo perchè ho visto che in alcuni esercizi il prof fa così ma la ragione sotto non l'ho capita.
So che se trovo un quantificatore, lo tolgo mappando una variabile e se c'è \( \displaystyle \forall \) allora devo scrivere una formula con \( \displaystyle \subseteq \) mentre se c'è \( \displaystyle \exists \) uso \( \displaystyle \in \) ma se ci sono tutti e due?
Ci sono delle regole da seguire? perchè io non c'ho capito un bel nulla

Grazie

[feroce91]

Ciao e' molto piu semplice di quanto tu possa pensare.
Allora il prof ha fatto tutti i passaggi giusti ma quella e la teoria dei modelli sul soddisfa o non soddisfa ma in pratica cosa vuol dire?e quali sono le motivazioni?
1)nel primo richiede se per ogni y esiste un x tale che valga r(xy) cioe' se esiste una relazione da x in y e dato che il simbolo di relazione e' espresso dalla freccia basta vedere se per ogni x esiste SEMPRE un y con cui posso fare Rxy.
la risposta è positiva perchè da ogni elemento a b c d parte una freccia e va a finire in un altro elemento .non ti far fregare da c che va in se stesso ma questa e pur sempre una relazione!
Nel caso in cui tu trovassi un elemento da dove non parte una freccia allora dato che hai il ∀x hai trovato anche un solo caso che non va bene e quindi sarebbe stata negativa la risposta.

2)Esiste almeno un caso in cui valga la proprieta RXy-->Ryy si in b per esempio Rbc--->Rcc funziona ma anche in Rcc---->Rcc.
(a te basta un esempio dato che è presente il ∃x.

3)Non e altro che la proprietà transitiva ESEMPIO :freccia in obliquo tra d e a ma dato che non esisteno in questo diagramma dobbiamo verificare per esempio per b se vale allora RBc--->(Rcc--->Rcc) come vedi
Vera--->(vera--->Vera)
Vera-->Vera
3)Vera

Spero di esserti stato d'aiuto
Marco
UNITO Informatica