[Teoria dei Sistemi] Modo del sistema

[Ahi]

Ciao a tutti!

Provo a dare una soluzione al seguente esercizio:

Data la seguente funzione di trasferimento:

\( \displaystyle {G}{\left({s}\right)}=\frac{{K}}{{{{s}}^{{2}}+{a}\cdot{s}+{b}}}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{\det{{e}}}{r}\min{a}{r}{e}{i}{v}{a}{l}{\quad\text{or}\quad}{i}{d}{e}{i}{p}{a}{r}{a}{m}{e}{t}{r}{i} \)a\( \displaystyle , \)b\( \displaystyle , \)K\( \displaystyle ,\in\text{mod}{o}{t}{a}\le{c}{h}{e}{i}{l}{s}{i}{s}{t}{e}{m}{a}{a}{\mathbf{{i}}}{a}\text{mod}{i}{p}{s}{e}{u}{d}{o}{p}{e}{r}{i}{o}{d}{i}{c}{i}{c}{o}{n}{v}{e}{r}\ge{n}{t}{i}{c}{h}{e}{o}{s}{c}{i}{l}{l}{a}{n}{o}{a}{d}{u}{n}{a}{\mathfrak{{e}}}{q}{u}{e}{n}{z}{a}{d}{i} \)0.25Hz\( \displaystyle ,{m}{o}{s}{t}{r}{i}{l}{a}{r}{i}{s}{p}{o}{s}{t}{a}{a}{r}{e}{g{{i}}}{m}{e}{d}{o}{p}{o}\circ{a}{5.1}{\sec{{o}}}{n}{d}{i}{e}{d}{a}{\mathbf{{i}}}{a}{g{{u}}}{a}{d}{a}{g{{n}}}{o}{s}{t}{a}{t}{i}{c}{o}{p}{a}{r}{i}{a} \)5\( \displaystyle .\frac{\lt}{{s}}{p}{a}{n}\gt\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{P}{r}{i}{m}{a}{\cos{{a}}}{c}{h}{e}{f{{a}}}{\mathcal{{i}}}{o}\ne{c}{a}{l}{c}{o}{l}{o}{i}{l}{g{{u}}}{a}{d}{a}{g{{n}}}{o}{s}{t}{a}{t}{i}{c}{o}{o}{s}{s}{i}{a}:\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)G(0) = K/b = 5\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{d}{o}{p}{o}{d}{i}{c}{h}{e}\neg{o}{c}{h}{e}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)s^2 + a*s + b = 0\( \displaystyle è{c}{o}{m}{e}{s}{e}{f{{o}}}{s}{s}{e}\partial{l}{a}{f{{\quad\text{or}\quad}}}{m}{a} \)s^2 + 2 phi*omega_n*s + (omega_n)^2 = 0\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{e}{d}{e}{s}{s}{e}{n}{d}{o} \)x + jy\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\le{r}{a}{d}{i}{c}{i}{d}{i}{q}{u}{e}{l}{l}'{e}{q}{u}{a}{z}{i}{o}\ne{s}{o}{n}{o}_{\lt}{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)x = -phi*omega_n\( \displaystyle , \)y = omega_n*sqrt(1 - phi^2)\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{d}{o}{v}{e} \)omega_n = 2*pi*f = 2 * pi * 0.25 = pi/2 $

Non so proprio se sto facendo bene, cosa devo fare se ho fatto bene fin qui?

Grazie.

[K.Lomax]

Scriviti la risposta in maniera del tutto generica, ovvero lasciando le incognite \( \displaystyle \phi \) e \( \displaystyle \omega_n \) , e poi ci ragioni su.
L'equazione è:

\( \displaystyle s^2+2\phi\omega_n+\omega_n^2 \)

L'ultimo termine è al quadrato.

[Ahi]

Scriviti la risposta in maniera del tutto generica, ovvero lasciando le incognite \( \displaystyle \phi \) e \( \displaystyle \omega_n \) , e poi ci ragioni su.
L'equazione è:

\( \displaystyle s^2+2\phi\omega_n+\omega_n^2 \)

L'ultimo termine è al quadrato.

Si ho corretto il quadrato, forse hai mancato la s qui. Ora continuando ottengo che:

\( \displaystyle {a}={2}\cdot\phi\cdot\omega_{{n}} \)

\( \displaystyle {b}={{\left(\omega_{{n}}\right)}}^{{2}} \)


inoltre affinché presenti modi convergenti deve essere \( \displaystyle {0}\lt\phi\lt{1} \) quindi posso dire che scelgo \( \displaystyle \phi={0.1} \) in modo arbitrario e dunque:

\( \displaystyle {a}={2}\cdot{0.1}\cdot\omega_{{n}} \)

\( \displaystyle {b}={{\left(\omega_{{n}}\right)}}^{{2}} \)

inontre \( \displaystyle \omega_{{n}}={2}\cdot\pi\cdot{f{=}}{2}\cdot\pi\cdot{0.25}=\frac{\pi}{{2}} \)

sostituendo si ricava

\( \displaystyle {a}=\frac{\pi}{{10}} \)

\( \displaystyle {b}=\frac{{{\pi}^{{2}}}}{{4}} \)

e inoltre \( \displaystyle \frac{{K}}{{b}}={5}\Rightarrow{K}={5}\cdot{b}={5}\cdot\frac{{{\pi}^{{2}}}}{{4}} \)

può andare?

[K.Lomax]

C'è l'ulteriore specifica del tempo di esaurimento del transitorio....

[Ahi]

C'è l'ulteriore specifica del tempo di esaurimento del transitorio....

Quindi da quando ho capito ho sbagliato tutto, ma dove e come dovrei utilizzare quel tempo di esaurimento del transitorio?

[K.Lomax]

Scusa ma non ti è venuto in mente che la specifica sul tempo di esaurimento del transitorio non l'avevi affatto utilizzata?
E' vera la condizione \( \displaystyle 0<\phi<1 \) (stabilità), ma questo parametro è da scegliere in accordo alla specifica del tempo di esaurimento del transitorio. In genere,si può supporre che il transitorio dato dall'esponenziale

\( \displaystyle e^{-\omega_n t\sqrt{1-\phi^2}} \)

si esaurisca dopo 2-3 costanti di tempo (ti ricordo che teoricamente quest'esponenziale si esaurisce solo all'infinito, ma nella pratica puoi supporre che si esaurisca entro questo tempo), ovvero quando l'esponente dell'esponenziale è pari a \( \displaystyle -3 \) dopo \( \displaystyle 5.1sec \) . Dunque,

\( \displaystyle 5.1\omega_n\sqrt{1-\phi^2}}\approx 3 \)

ovvero

\( \displaystyle \phi\approx\sqrt{1-\left(\frac{3}{5.1\omega_n}\right)^2}=0.927 \)

o comunque, per evitare tempi superiori alla richiesta, non superiore a questo. Invece, per \( \displaystyle \phi=0.1 \) come da te scelto, avresti l'esaurimento del transitorio in un tempo:

\( \displaystyle t=\frac{6}{\pi\sqrt{1-0.1^2}}=1.919sec \)

quindi molto più velocemente ma sicuramente con picco di risonanza elevato.