Moduli liberi e moduli senza proprietà commutativa

[dissonance]

Ho consultato Algebra di Micheal Artin per un po' di materiale introduttivo sui moduli. Ho trovato tutto ciò che mi serviva ma mi sono rimaste due curiosità:
1) Perché un \( \displaystyle {R} \)-modulo isomorfo a \( \displaystyle {{R}}^{{n}} \) si chiama libero? Libero da cosa?
2) Leggo che se \( \displaystyle {R} \) non è commutativo la (già deboluccia IMHO ) analogia con gli spazi vettoriali va a farsi benedire definitivamente; il libro dice che esistono esempi di \( \displaystyle {R} \)-moduli isomorfi ad \( \displaystyle {{R}}^{{n}} \) per ogni \( \displaystyle {n} \) intero positivo! Mi sapreste dare qualche idea su come possa essere fatto un oggetto di questo genere?

[misanino]

Prima di tutto, quando io parlo di modulo libero, intendo che un modulo è libero su un certo insieme (che chiamo X) che sarà poi di fatto una specie di base.
Dico che un R-modulo M, con una mappa \( \displaystyle {i}:{X}\rightarrow{M} \) (che è in genere l'inclusione) è libero su X se, \( \displaystyle \forall \) R-modulo N e \( \displaystyle \forall \) mappa \( \displaystyle \phi:{X}\rightarrow{N} \), esiste un unico omomorfismo di R-moduli \( \displaystyle {\overline{\phi}}:{M}\rightarrow{N} \) t.c. \( \displaystyle \phi={\overline{\phi}}\circ{i} \).
Si può dimostrare che tale definizione più generale permette di dire che un R-modulo isomorfo a \( \displaystyle {{R}}^{{n}} \) è libero.
Non chiedermi però come si fa perchè quando avevo trovato tale dimostrazione non l'avevo compresa appieno.
Ora il fatto che esso si dica libero dipende dal fatto che in M non vi sono altre relazioni se non quella che ho appena detto.
E' più semplece se si pensa ai gruppi liberi.
Un gruppo è libero se vale questa stessa definizione (ovviamente scambianod moduli con gruppi e omomorfismi di moduli con omomorfismi di gruppi).
Se un gruppo è libero non vi sono relazioni nella presentazione del gruppo.
Ad esmpio il gruppo ciclico \( \displaystyle {C}_{{2}} \) è il gruppo \( \displaystyle {C}_{{2}}=\lt{x}\ {t}.{c}.\ {{x}}^{{2}}={1}\gt \).
In questa presentazione del gruppo \( \displaystyle {C}_{{2}} \) go che c'è la relazione \( \displaystyle {{x}}^{{2}}={1} \) e quindi esso non è libero.
In realtà ogni gruppo è un quoziente di un certo gruppo libero.
Più di questo non saprei dirti.
So di non essere stato del tutto chiaro e esplicativo.
Se hai ancora qualche dubbio che posso provare a risolverti, volentieri.
Non aspettarti però che sappia tutto.
Ciao

[dissonance]

Ah ecco credo di intuire. Si, nel corso di Algebra c'erano questi gruppi liberi, che io ricordo come degli aggeggi grandissimi i cui elementi erano parole... Cioè uno assegnava un alfabeto, per esempio \( \displaystyle {a},{b},{c} \) e il gruppo libero era composto da tutte le combinazioni di queste lettere e delle loro inverse, cose come \( \displaystyle {a}{\mathbf{{a}}}{c}{{b}}^{{-{1}}}{b} \) per dirne una. E adesso capisco perché "libero": perché non erano assegnate relazioni che lo vincolassero. Quindi per esempio \( \displaystyle \mathbb{Z} \) è un gruppo libero?

P.S.: \( \displaystyle \circ \) si scrive $\circ$ oppure $@$.

[Martino]

1) Perché un \( \displaystyle {R} \)-modulo isomorfo a \( \displaystyle {{R}}^{{n}} \) si chiama libero? Libero da cosa?

Da relazioni. In genere una struttura algebrica si dice libera se è libera da relazioni.

2) Leggo che se \( \displaystyle {R} \) non è commutativo la (già deboluccia IMHO ) analogia con gli spazi vettoriali va a farsi benedire definitivamente; il libro dice che esistono esempi di \( \displaystyle {R} \)-moduli isomorfi ad \( \displaystyle {{R}}^{{n}} \) per ogni \( \displaystyle {n} \) intero positivo! Mi sapreste dare qualche idea su come possa essere fatto un oggetto di questo genere?

Un esempio è la Leavitt Algebra (credo si chiami algebra di Leavitt in italiano). Gli anelli \( \displaystyle {R} \) tali che \( \displaystyle {R_R}^n \cong {R_R}^m \) implica \( \displaystyle {n}={m} \) si chiamano anelli IBN. Ma non c'è molto su internet in proposito.

L'algebra di Leavitt si costruisce così (sto riportando dalle mie note di un bel corso di anelli che ho seguito): dato un anello commutativo \( \displaystyle {A} \) considera \( \displaystyle X=\{x_{ij},\ y_{ij}\ |\ i=1,...,n,\ j=1,...,m\} \) , un insieme di cardinalità \( \displaystyle {2}{m}{n} \). Sia \( \displaystyle {P} \) l'\( \displaystyle {A} \)-algebra libera su \( \displaystyle {X} \) (un anello contenente \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {X} \) in cui puoi moltiplicare gli elementi di \( \displaystyle {X} \) e in cui non ci sono relazioni).

Siano \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \) le matrici seguenti: \( \displaystyle x=(x_{ij})_{i,j} \) , \( \displaystyle y=(y_{ij})_{i,j} \) . Sia \( \displaystyle {I} \) l'ideale di \( \displaystyle {P} \) generato dalle entrate delle matrici \( \displaystyle {x}{y}-{1}_{{n}} \), \( \displaystyle {y}{x}-{1}_{{m}} \). Definisci \( \displaystyle R:=P/I \) . Se riduci le matrici \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \) modulo \( \displaystyle {I} \) ottieni due nuove matrici \( \displaystyle {\overline{{{x}}}} \), \( \displaystyle {\overline{{{y}}}} \) ad entrate in \( \displaystyle {R} \) tali che \( \displaystyle {\overline{{{x}}}}{\overline{{{y}}}}={1}_{{n}} \) e \( \displaystyle {\overline{{{y}}}}{\overline{{{x}}}}={1}_{{m}} \). Quindi \( \displaystyle {\overline{{{x}}}} \) e \( \displaystyle {\overline{{{y}}}} \) definiscono due \( \displaystyle {R} \)-morfismi \( \displaystyle {{R}}^{{n}}\to{{R}}^{{m}} \), \( \displaystyle {{R}}^{{m}}\to{{R}}^{{n}} \), uno l'inverso dell'altro, da cui \( \displaystyle {{R}}^{{n}}\stackrel{\sim}{=}{{R}}^{{m}} \).

E' difficile crederci

[misanino]

Ah ecco credo di intuire. Si, nel corso di Algebra c'erano questi gruppi liberi, che io ricordo come degli aggeggi grandissimi i cui elementi erano parole... Cioè uno assegnava un alfabeto, per esempio \( \displaystyle {a},{b},{c} \) e il gruppo libero era composto da tutte le combinazioni di queste lettere e delle loro inverse, cose come \( \displaystyle {a}{\mathbf{{a}}}{c}{{b}}^{{-{1}}}{b} \) per dirne una. E adesso capisco perché "libero": perché non erano assegnate relazioni che lo vincolassero. Quindi per esempio \( \displaystyle \mathbb{Z} \) è un gruppo libero?

P.S.: \( \displaystyle \circ \) si scrive $\circ$ oppure $@$.

Prima di tutto grazie per avermi detto come si scrive il simbolo composto.
Provvederò subito a modificare.
E poi direi che hai capito bene: \( \displaystyle \mathbb{Z} \) infatti è proprio libero.
ciao

[Martino]

2) Leggo che se \( \displaystyle {R} \) non è commutativo la (già deboluccia IMHO ) analogia con gli spazi vettoriali va a farsi benedire definitivamente; il libro dice che esistono esempi di \( \displaystyle {R} \)-moduli isomorfi ad \( \displaystyle {{R}}^{{n}} \) per ogni \( \displaystyle {n} \) intero positivo! Mi sapreste dare qualche idea su come possa essere fatto un oggetto di questo genere?

Un esempio più semplice di quello che ho dato prima: prendi uno spazio vettoriale \( \displaystyle {V} \) di dimensione infinita su un certo campo \( \displaystyle {K} \), e prendi come \( \displaystyle {R} \) l'anello degli endomorfismi di \( \displaystyle {V}_{{K}} \) (le operazioni sono la somma e la composizione). Allora si ha \( \displaystyle {R}_{{R}}\stackrel{\sim}{=}{{\left({R}_{{R}}\right)}}^{{n}} \) per ogni \( \displaystyle {n} \).

Questo si vede così: si ha che \( \displaystyle {V}_{{k}}\oplus{V}_{{k}}\stackrel{\sim}{=}{V}_{{k}} \), quindi

\( \displaystyle R=Hom(V_k,V_k) \cong Hom(V_k,V_k \oplus V_k) \cong Hom(V_k,V_k)^2 = R^2 \)

e questo è sufficiente.

[dissonance]

Io non visualizzo gli $\overline$ nel primo post di Martino, mi viene fuori un tratto rosso con scritto "invalid-markup", così ho sostituito tutti gli \overline con \bar, metto un quote nel caso qualcun altro avesse il mio stesso problema:

L'algebra di Leavitt si costruisce così (sto riportando dalle mie note di un bel corso di anelli che ho seguito): dato un anello commutativo \( \displaystyle {A} \) considera \( \displaystyle X=\{x_{ij},\ y_{ij}\ |\ i=1,...,n,\ j=1,...,m\} \) , un insieme di cardinalità \( \displaystyle {2}{m}{n} \). Sia \( \displaystyle {P} \) l'\( \displaystyle {A} \)-algebra libera su \( \displaystyle {X} \) (un anello contenente \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {X} \) in cui puoi moltiplicare gli elementi di \( \displaystyle {X} \) e in cui non ci sono relazioni).

Siano \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \) le matrici seguenti: \( \displaystyle x=(x_{ij})_{i,j} \) , \( \displaystyle y=(y_{ij})_{i,j} \) . Sia \( \displaystyle {I} \) l'ideale di \( \displaystyle {P} \) generato dalle entrate delle matrici \( \displaystyle {x}{y}-{1}_{{n}} \), \( \displaystyle {y}{x}-{1}_{{m}} \). Definisci \( \displaystyle R:=P/I \) . Se riduci le matrici \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \) modulo \( \displaystyle {I} \) ottieni due nuove matrici \( \displaystyle {\overline{{{x}}}} \), \( \displaystyle {\overline{{{y}}}} \) ad entrate in \( \displaystyle {R} \) tali che \( \displaystyle {\overline{{{x}}}}{\overline{{{y}}}}={1}_{{n}} \) e \( \displaystyle {\overline{{{y}}}}{\overline{{{x}}}}={1}_{{m}} \). Quindi \( \displaystyle {\overline{{{x}}}} \) e \( \displaystyle {\overline{{{y}}}} \) definiscono due \( \displaystyle {R} \)-morfismi \( \displaystyle {{R}}^{{n}}\to{{R}}^{{m}} \), \( \displaystyle {{R}}^{{m}}\to{{R}}^{{n}} \), uno l'inverso dell'altro, da cui \( \displaystyle {{R}}^{{n}}\stackrel{\sim}{=}{{R}}^{{m}} \).

[dissonance]

@Martino: Bello il secondo esempio! (Probabilmente sarà bello anche il primo ma ci sto ancora combattendo).

[Martino]

Io non visualizzo gli $\overline$ nel primo post di Martino, mi viene fuori un tratto rosso con scritto "invalid-markup", così ho sostituito tutti gli \overline con \bar, metto un quote nel caso qualcun altro avesse il mio stesso problema

Ho sostituito gli overline coi bar. E' che sono abituato agli overline

Bello il secondo esempio! (Probabilmente sarà bello anche il primo ma ci sto ancora combattendo).

Sì in effetti è più immediato (se vogliamo). Anch'io ho dovuto capacitarmi un po' del primo, ma quando arrivi a crederci è tutto più facile.

Ti metto qualche proprietà degli anelli IBN:

1. Ogni corpo è un IBN.
2. Se \( \displaystyle {R}\to{S} \) è un omomorfismo di anelli e \( \displaystyle {S} \) è IBN allora \( \displaystyle {R} \) è IBN.
3. Gli anelli commutativi sono IBN.

Con questo praticamente si conclude quanto so di queste cose.

[dissonance]

Martino vorrei approfittare un altro pochino della tua disponibilità per verificare se ho capito il primo esempio. Intanto io direi che possiamo prendere \( \displaystyle {A}=\mathbb{Z} \), tanto per concretizzare un po'. Poi introduciamo \( \displaystyle {2}{m}{n} \) indeterminate \( \displaystyle {\left\lbrace{{x}_{{j}}^{{i}}},{{y}_{{i}}^{{j}}}\ {\mid}\ {i}={1}..{n},{j}={1}..{m}\right\rbrace} \) e costruiamo \( \displaystyle {P} \), un anello i cui elementi sono dei polinomi a coefficienti interi in cui però l'ordine con cui vengono moltiplicate le indeterminate è importante (quindi \( \displaystyle {{x}_{{1}}^{{1}}}{{y}_{{1}}^{{1}}}\ne{{y}_{{1}}^{{1}}}{{x}_{{1}}^{{1}}} \)). (giusto?)

Adesso vogliamo costruire un opportuno quoziente di \( \displaystyle {P} \) affinché le due matrici \( \displaystyle {x},{y} \), che non sono quadrate, siano una l'inversa dell'altra (pura fantascienza ). A questo scopo costruiamo \( \displaystyle {R} \) che è un anello ottenuto schiacciando a zero i coefficienti di \( \displaystyle {x}{y}-{I},{y}{x}-{I} \) e tutto va come speravamo.

Ma se invece \( \displaystyle {P} \) fosse stato commutativo? Nella nostra costruzione con \( \displaystyle {A}=\mathbb{Z} \), imporre a \( \displaystyle {P} \) di essere commutativo credo lo trasformi nel familiare anello dei polinomi in \( \displaystyle {{x}_{{j}}^{{i}}},{{y}_{{i}}^{{j}}} \). (*) Qui matrici non quadrate ma invertibili non possono essercene, come sono stato fermamente convinto fino ad un'ora fa. Questo vuol dire che, quando schiacciamo a zero gli elementi di \( \displaystyle {x}{y}-{I},{y}{x}-{I} \) abbiamo schiacciato a zero tutti i polinomi di \( \displaystyle {P} \)? A questo punto penso di si.

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(*) Quindi gli anelli dei polinomi in più di una indeterminata non sono liberi, perché imponiamo condizioni come \( \displaystyle {X}_{{1}}{X}_{{2}}={X}_{{2}}{X}_{{1}} \). E gli anelli di polinomi in una sola indeterminata? Quelli direi che sono liberi. Mi sbaglio?