Momento di inerzia semisfera cava

[mulo1990]

Salve, non mi riesce calcolare il momento di inerzia a causa di un errore iniziale. Infatti il libro mi consiglia di trovare prima di tutto il centro di massa. Con riferimento alla terna \( \displaystyle {\left({O};{x},{y},{z}\right)} \), con l'origine O coincidente con il centro della sfera riferito alla semisfera, con l'asse z diretto secondo l'asse della semisfera e gli assi x e y nel piano base della semisfera e sia \( \displaystyle {\left({P}{o};{X}{o},{Y}{o},{Z}{o}\right)} \) la terna con centro nel centro di massa.
Secondo lui il centro di massa si trova a \( \displaystyle {Z}{o}=\frac{{R}}{{2}} \), mentre secondo il miei calcoli torna \( \displaystyle {Z}{o}=\frac{{R}}{{3}} \), di seguito riporto i miei calcoli:
\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}+{{z}}^{{2}}={{R}}^{{2}} \) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}={{R}}^{{2}}-{{z}}^{{2}} \) quindi il raggio che varia al variare dell'altezza sara dato da \( \displaystyle \sqrt{{{{R}}^{{2}}-{{z}}^{{2}}}} \)
\( \displaystyle {m}{\left({s}{e}{m}{i}{\mathsf{{e}}}{r}{a}\right)}=\frac{{\rho{4}\pi{{R}}^{{2}}}}{{2}}=\rho{2}\pi{{R}}^{{2}} \)
scrivo quindi l'equazione per trovare il centro di massa:
\( \displaystyle {m}{Z}{o}={\int_{{{C}}}^{{}}}{z}{d}{C} \)
siccome \( \displaystyle {m}{\left(\circ{o}{n}{f{{e}}}{r}{e}{n}{z}{a}\right)}=\rho{2}\pi{r}=\rho{2}\pi\sqrt{{{{R}}^{{2}}-{{z}}^{{2}}}} \) allora:
\( \displaystyle \rho{2}\pi{{R}}^{{2}}{Z}{o}={\int_{{{0}}}^{{{R}}}}\rho{2}\pi\sqrt{{{{R}}^{{2}}-{{z}}^{{2}}}}{z}{\left.{d}{z}\right.} \)
\( \displaystyle \rho{2}\pi{{R}}^{{2}}{Z}{o}=\rho{2}\pi{\int_{{{0}}}^{{{R}}}}\sqrt{{{{R}}^{{2}}-{{z}}^{{2}}}}{z}{\left.{d}{z}\right.} \)
svolgo l'integrale per sostituzione: \( \displaystyle {u}={{R}}^{{2}}-{{z}}^{{2}}\Rightarrow{d}{u}=-{2}{z}{\left.{d}{z}\right.} \) quindi:
\( \displaystyle \rho{2}\pi{{R}}^{{2}}{Z}{o}=-\rho\pi{\int_{{{0}}}^{{{R}}}}\sqrt{{{u}}}{d}{u} \)
\( \displaystyle \rho{2}\pi{{R}}^{{2}}{Z}{o}=-\rho\pi\frac{{2}}{{3}}{{\left({{R}}^{{2}}-{{z}}^{{2}}\right)}}^{{\frac{{3}}{{2}}}}{{\mid}_{{0}}^{{R}}}\ \)
\( \displaystyle \rho{2}\pi{{R}}^{{2}}{Z}{o}=\rho\pi\frac{{2}}{{3}}{{R}}^{{3}} \)
\( \displaystyle {Z}{o}=\frac{{\rho\pi\frac{{2}}{{3}}{{R}}^{{3}}}}{{\rho{2}\pi{{R}}^{{2}}}}=\frac{{{R}}}{{3}} \)
Errore mio o del libro? Grazie

[Quinzio]

Errore del libro.
E' evidente che il centro di massa non può essere a metà del raggio.

[mulo1990]

Come faccio a vedere che il centro di massa di una superficie semisferica non è a \( \displaystyle \frac{{R}}{{2}} \), riesco a immaginarlo per una semisfera piena ma non per una cava. Grazie.

[ELWOOD]

è intuibile dal fatto che anche il baricentro di una semicirconferenza non è a \( \displaystyle \frac{{R}}{{2}} \)